Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление

Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление

Содержание лекций Стр.
3.1. Определение числовой последовательности
3.2. Задание числовой последовательности
3.3. Понятие предела числовой последовательности
3.4. Арифметические операции над последовательностями
3.5. Ограниченные и неограниченные последовательности
3.6. определение подпоследовательности
3.7. Фундаментальные последовательности
3.8. Монотонные последовательности
3.9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства
3.10. Вычисление предела последовательности

Определение числовой последовательности

Последовательность – это результат последовательного выбора элементов заданного множества. Она может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru ставится в соответствие элемент Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru некоторого множества. Последовательность записывается в виде Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , или кратко {xn}. Заметим, что числовая последовательность является функцией, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел, т.е. числовая последовательность – это функция натурального аргумента: xn = f(n). Элементы Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru называются членами последовательности, Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru - первым, Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru - вторым, Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru - общим ( Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru -м) членом последовательности

Задание числовой последовательности

Аналитический способ - самый простой способ задания числовой последовательности. Это делают с помощью формулы, выражающей Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru -й член последовательности Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru через его номер Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , по которой можно вычислить любой член последовательности. Пример 3.1, если

Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , то Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru .

Другой способ - рекуррентный (от латинского слова recurrens - «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие. Пример 3.2:

Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru . Можно найти Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru .

Из школьного курса известны примеры числовых последовательностей:

– арифметическая прогрессия – это такая числовая последовательность, в которой каждый член равен предыдущему, сложенному с постоянным для данной последовательности числом: Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru ; формула общего члена: Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , где Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru – первый член , а Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru – разность прогрессии.

– геометрическая прогрессия – это такая числовая последовательность, в которой каждый член равен предыдущему, умноженному на постоянным для данной последовательности число: Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru ; формула общего члена: Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , где Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru – первый член , а Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru – знаменатель прогрессии.




Теорема.

Если последовательность {xn} сходится и ее предел равен a, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел.

Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.

Фундаментальные последовательности

Определение.

1. Последовательность Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru возрастает, если Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru

xn< Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru : каждый член последовательности меньше последующего;

2. Последовательность Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru убывает, если Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru

( Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru ) : каждый член последовательности больше последующего ;

3. Последовательность Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru не возрастает, если Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru

Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru : каждый член последовательности не меньше последующего;

4. Последовательность Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru не убывает, если Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru

( Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru ): каждый член последовательности не больше последующего;

5. Последовательность Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru называется монотонной, если она является или возрастающей, или убывающей, или не возрастающей, или не убывающей.

6. У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

7. Предел последовательности, все члены которой равны числу Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , равен Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru .

8. Теорема 13.Если монотонная последовательность Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru ограничена, то она сходится.

Доказательство. Так как последовательность Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru ограничена, то множество ее элементов имеет точные верхнюю Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru и нижнюю Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru грани. Пусть Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru – неубывающая последовательность и Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru – точная верхняя грань множества ее элементов. Это означает, что для любого числа Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru можно указать такой элемент Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , что Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru и Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru . Эти два неравенства равносильны неравенству Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru или Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru . Так как Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru – неубывающая последовательность, то при Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru выполняется Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru или Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru . Это означает, что при Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru выполняется Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru или Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru . Таким образом, Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru . Аналогично доказывается случай, когда Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru – невозрастающая последовательность.

Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие ее сходимости. Действительно, по теореме 8 сходящаяся монотонная последовательность ограничена.

Замечание 2. Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например, последовательность Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru сходится к числу ноль, но не является монотонной.

Замечание 3. Если последовательность Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru неубывающая сходящаяся и Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru - ее предел, то для всех номеров n выполняется неравенство Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru . Аналогично, если Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru невозрастающая сходящаяся последовательность и Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru – ее предел, то для всех номеров n справедливо Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru .

Теорема 13 (теорема Больцано-Вейерштрасса).Из всякой ограниченной последовательности действительных чисел, можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

.

Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство.Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru . Докажем, что точная верхняя граница для последовательности Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru и будет ее пределом.

Действительно, по определению точной верхней границы

Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru

Кроме того, какое бы ни взять число Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , найдется такой номер Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , что

Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru

Так как последовательность монотонна, то при Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru будет Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru , а значит, и Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru и выполняются неравенства

Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru

откуда и следует, что Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru .

Эта замечательная теорема дает достаточные условия существования предела. Из нее, например, следует, что последовательность площадей правильных Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru -угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Предел этой последовательности обозначается Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru .

С помощью предела монотонной ограниченной последовательности определяется играющее большую роль в математическом анализе число Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru - основание натуральных логарифмов:

Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru . Некоторые замечательные пределы. Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление - student2.ru

Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление

Содержание лекций Стр.
3.1. Определение числовой последовательности
3.2. Задание числовой последовательности
3.3. Понятие предела числовой последовательности
3.4. Арифметические операции над последовательностями
3.5. Ограниченные и неограниченные последовательности
3.6. определение подпоследовательности
3.7. Фундаментальные последовательности
3.8. Монотонные последовательности
3.9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства
3.10. Вычисление предела последовательности

Наши рекомендации