Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление
Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление
№ | Содержание лекций | Стр. |
3.1. | Определение числовой последовательности | |
3.2. | Задание числовой последовательности | |
3.3. | Понятие предела числовой последовательности | |
3.4. | Арифметические операции над последовательностями | |
3.5. | Ограниченные и неограниченные последовательности | |
3.6. | определение подпоследовательности | |
3.7. | Фундаментальные последовательности | |
3.8. | Монотонные последовательности | |
3.9. | Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства | |
3.10. | Вычисление предела последовательности |
Определение числовой последовательности
Последовательность – это результат последовательного выбора элементов заданного множества. Она может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие элемент некоторого множества. Последовательность записывается в виде , или кратко {xn}. Заметим, что числовая последовательность является функцией, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел, т.е. числовая последовательность – это функция натурального аргумента: xn = f(n). Элементы называются членами последовательности, - первым, - вторым, - общим ( -м) членом последовательности
Задание числовой последовательности
Аналитический способ - самый простой способ задания числовой последовательности. Это делают с помощью формулы, выражающей -й член последовательности через его номер , по которой можно вычислить любой член последовательности. Пример 3.1, если
, то , , , .
Другой способ - рекуррентный (от латинского слова recurrens - «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие. Пример 3.2:
, . Можно найти , .
Из школьного курса известны примеры числовых последовательностей:
– арифметическая прогрессия – это такая числовая последовательность, в которой каждый член равен предыдущему, сложенному с постоянным для данной последовательности числом: ; формула общего члена: , где – первый член , а – разность прогрессии.
– геометрическая прогрессия – это такая числовая последовательность, в которой каждый член равен предыдущему, умноженному на постоянным для данной последовательности число: ; формула общего члена: , где – первый член , а – знаменатель прогрессии.
Теорема.
Если последовательность {xn} сходится и ее предел равен a, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел.
Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.
Фундаментальные последовательности
Определение.
1. Последовательность возрастает, если
xn< : каждый член последовательности меньше последующего;
2. Последовательность убывает, если
( ) : каждый член последовательности больше последующего ;
3. Последовательность не возрастает, если
: каждый член последовательности не меньше последующего;
4. Последовательность не убывает, если
( ): каждый член последовательности не больше последующего;
5. Последовательность называется монотонной, если она является или возрастающей, или убывающей, или не возрастающей, или не убывающей.
6. У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
7. Предел последовательности, все члены которой равны числу , равен .
8. Теорема 13.Если монотонная последовательность ограничена, то она сходится.
Доказательство. Так как последовательность ограничена, то множество ее элементов имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Пусть – неубывающая последовательность и – точная верхняя грань множества ее элементов. Это означает, что для любого числа можно указать такой элемент , что и . Эти два неравенства равносильны неравенству или . Так как – неубывающая последовательность, то при выполняется или . Это означает, что при выполняется или . Таким образом, . Аналогично доказывается случай, когда – невозрастающая последовательность.
Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие ее сходимости. Действительно, по теореме 8 сходящаяся монотонная последовательность ограничена.
Замечание 2. Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например, последовательность сходится к числу ноль, но не является монотонной.
Замечание 3. Если последовательность неубывающая сходящаяся и - ее предел, то для всех номеров n выполняется неравенство . Аналогично, если невозрастающая сходящаяся последовательность и – ее предел, то для всех номеров n справедливо .
Теорема 13 (теорема Больцано-Вейерштрасса).Из всякой ограниченной последовательности действительных чисел, можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
.
Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательство.Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности . Докажем, что точная верхняя граница для последовательности и будет ее пределом.
Действительно, по определению точной верхней границы
Кроме того, какое бы ни взять число , найдется такой номер , что
Так как последовательность монотонна, то при будет , а значит, и и выполняются неравенства
откуда и следует, что .
Эта замечательная теорема дает достаточные условия существования предела. Из нее, например, следует, что последовательность площадей правильных -угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Предел этой последовательности обозначается .
С помощью предела монотонной ограниченной последовательности определяется играющее большую роль в математическом анализе число - основание натуральных логарифмов:
. Некоторые замечательные пределы.
Предел числовой последовательность, его свойства и вычисление
№ | Содержание лекций | Стр. |
3.1. | Определение числовой последовательности | |
3.2. | Задание числовой последовательности | |
3.3. | Понятие предела числовой последовательности | |
3.4. | Арифметические операции над последовательностями | |
3.5. | Ограниченные и неограниченные последовательности | |
3.6. | определение подпоследовательности | |
3.7. | Фундаментальные последовательности | |
3.8. | Монотонные последовательности | |
3.9. | Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства | |
3.10. | Вычисление предела последовательности |