Векторов к доказательству теорем

1. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

□ Пусть в . Докажем, что .

Запишем сначала векторное равенство для векторов, содержащих стороны , применив правило треугольника:

(рис. 13).

А

В

С

Рис. 13

Возведем это векторное равенство в скалярный квадрат: .

По следствию из свойства А3⁰

.

Так как , то по свойству Г1⁰ . Применив Г2⁰, получаем:

.

Учитывая, что , , (т.е. длина вектора - это длина отрезка АВ), окончательно будем иметь:

. ■

2. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

□ Докажем, что (рис. 14).

Представим вектор в виде разности векторов двух других сторон:

.

А

В

С

Рис. 14

Возведем обе части этого векторного равенства в скалярный квадрат:

.

Далее воспользуемся следствием из свойства А3⁰:

.

Учитывая, что , , и , получим:

,

откуда

. ■

Нелинейные операции над векторами

Понятие об ориентации пространства и плоскости

Пусть , , - базис трехмерного векторного пространства.

Рис. 16

Рис. 17

Базис , , называется правым (левым), если при взгляде на плоскость векторов и из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден как идущий против часовой стрелки (по часовой стрелке). На рис. 16 изображен правый базис, на рис. 17 – левый.

Можно дать и другие определения правого и левого базиса, например, такое: базис , , называется правым (левым), если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так же, как расставлены (примерно под прямым углом) пальцы правой (левой) руки: большой палец – по первому вектору , указательный – по , средний – по .

Мы будем пользоваться в дальнейшем первым определением.

Если два базиса правые (или левые), то говорят, что они одинаково ориентированы или имеют одинаковую ориентацию. Если один базис правый, а другой – левый, то говорят, что они противоположно ориентированы или имеют противоположную ориентацию.

Множество всех правых (всех левых) базисов в пространстве V называется правой (левой) ориентацией векторного пространства V.

Таким образом, в векторном пространстве ориентацию можно задать двумя способами: правую и левую. Векторное пространство, в котором выбрана ориентация, называется ориентированным. Как только в пространстве мы зададим базис, так сразу оно становится ориентированным.

В дальнейшем, если нет специальных оговорок, когда в пространстве выбран базис, будем считать, что он является правым.

Аналогично можно ввести понятие ориентированной плоскости. При этом базис , на плоскости называется правым (левым), если кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму осуществляется против часовой стрелки (по часовой стрелке).