Уравнения, неравенства и их системы

Линейные уравнения

Квадратные уравнения

Рациональные уравнения

Системы уравнений

Системы неравенств

Линейные уравнения

1.Найдите корни уравнения .

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −4,5.

Ответ: -4,5

-4,5

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.

Задание 6 № 311469

2.Решите урав­не­ние .

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −1,6.

Ответ: -1,6

-1,6

Источник: Демоверсия--2012. Математика.

Задание 6 № 338480

3.Решите урав­не­ние

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −1.

Ответ: -1

-1

Задание 6 № 338488

4.Решите урав­не­ние

Решение.

Решим уравнение:

Ответ: −3.

Ответ: -3

-3

Задание 6 № 338495

5.Решите урав­не­ние

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 4.

Ответ: 4

Задание 6 № 338500

6.При каком зна­че­нии зна­че­ния вы­ра­же­ний и равны?

Решение.

Для от­ве­та на во­прос за­да­чи нужно ре­шить урав­не­ние Решим его:

Ответ: 2.

Ответ: 2

Задание 6 № 338509

7.Решите урав­не­ние

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 9,7.

Ответ: 9,7

9,7

Задание 6 № 338527

8.Решите урав­не­ние

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 1.

Ответ: 1

Задание 6 № 338557

9.Решите урав­не­ние

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 7.

Ответ: 7

Задание 6 № 338560

10.Решите урав­не­ние

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

1,5

Задание 6 № 338606

11.Решите урав­не­ние

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −2,5.

Ответ: -2,5

-2,5

Задание 6 № 338610

12.Решите урав­не­ние

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: -6

-6

Задание 6 № 338658

13.Решите урав­не­ние

Решение.

Решим уравнение:

Ответ: −1,75.

Ответ: -1,75

-1,75

Задание 6 № 338868

14.Решите урав­не­ние

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение.

Произведение двух мно­жи­те­лей равно нулю тогда и толь­ко тогда, когда хотя бы один из мно­жи­те­лей равен нулю:

Ответ: 0,66.

Ответ: 0,66

0,66

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 6 № 341216

15.Решите урав­не­ние

Решение.

Домножим пра­вую и левую часть урав­не­ний на 12:

Ответ: 5.

Ответ: 5

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 6 № 353480

16.Найдите корень уравнения

Квадратные уравнения

1.Найдите корни урав­не­ния .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение.

По теореме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней равна −7, а их про­из­ве­де­ние равно −18. Тем самым, это числа −9 и 2.

Ответ: −92.

------------------

Дублирует 314539.

Ответ: -92

-92

Источник: Демонстрационная вер­сия ГИА—2013 по математике.

Задание 6 № 137381

2.Решите урав­не­ние .

Решение.

По тео­ре­ме, об­рат­ной теореме Виета, сумма кор­ней равна 1, а их про­из­ве­де­ние −6.

Тем самым, это числа −2 и 3.

Ответ: −23.

Ответ: -23

-23

Задание 6 № 137382

3.Решите урав­не­ние .

Решение.

Запишем урав­не­ние в виде По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней равна −3, а их про­из­ве­де­ние −4.

Тем самым это числа −4 и 1.

Ответ: −41.

Ответ: -41

-41

Задание 6 № 137383

4.Решите урав­не­ние .

Решение.

Запишем урав­не­ние в виде По тео­ре­ме, об­рат­ной теореме Виета, сумма кор­ней равна 2, а их про­из­ве­де­ние −8.

Тем самым это числа −2 и 4.

Ответ: −24.

Ответ: -24

-24

Задание 6 № 311405

5.Найдите корни урав­не­ния .

Решение.

Решим уравнение:

Ответ: −0,20,2.

Ответ: -0,20,2

-0,20,2

Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 1 (1 вар.)

Задание 6 № 311446

6.Найдите корни урав­не­ния .

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 05.

Ответ: 05

Источник: ГИА-2013. Математика. Экзамен. Вариант 9

Задание 6 № 311689

7.Найдите корни урав­не­ния

Решение.

По теореме, об­рат­ной теореме Виета — сумма кор­ней равна −7, а их про­из­ве­де­ние равно −18

Тем самым, это числа −9 и 2.

Ответ: −92.

Ответ: -92

-92

Источник: Демонстрационная вер­сия ГИА—2014 по математике.

Задание 6 № 314495

8.Най­ди­те корни урав­не­ния

Решение.

Запишем урав­не­ние в виде:

По теореме Виета, сумма кор­ней равна 5, а их про­из­ве­де­ние равно 4. Тем самым, это числа 4 и 1.

Ответ: 14.

Ответ: 14

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 6 № 320540

9. Две пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке C (см. рис.). Най­ди­те абс­цис­су точки C.

Решение.

Уравнения прямых:

Найдём абс­цис­су точки пе­ре­се­че­ния прямых, для этого, при­рав­ня­ем ординаты:

Ответ: −2.

Ответ: -2

-2

Задание 6 № 320541

10. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и Вы­чис­ли­те ко­ор­ди­на­ты точки B.

Запишите ко­ор­ди­на­ты в от­ве­т без пробелов.

Решение.

Точки A и B — точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков функ­ций и Найдём их абсциссы:

Абсцисса точки B боль­ше нуля, следовательно, это Найдём ор­ди­на­ту точки B:

Ответ: 3−6.

Ответ: 3-6

3-6

Задание 6 № 338180

11.Уравнение имеет корни −6; 4. Най­ди­те

Решение.

По тео­ре­ме Виета

Ответ: −24.

Ответ: -24

-24

Задание 6 № 338202

12.Квадратный трёхчлен раз­ло­жен на множители: Най­ди­те

Решение.

Корни урав­не­ния — суть числа −9 и 3. В силу формулы где и — корни урав­не­ния получаем Следовательно,

Ответ: 3

Задание 6 № 338494

13.Решите урав­не­ние

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −9,7.

Ответ: -9,7

-9,7

Задание 6 № 338518

14.Решите урав­не­ние

Решение.

Раскроем скоб­ки и пре­об­ра­зу­ем выражение:

Ответ: 2,25.

Ответ: 2,25

2,25

Задание 6 № 338526

15.Решите урав­не­ние

Решение.

Квадраты чисел равны, если числа равны или противоположны:

Ответ: −2,5.

Приведем дру­гое решение.

Раскроем скоб­ки в обеих ча­стях уравнения:

Приведем дру­гое решение.

Воспользуемся фор­му­лой разности квадратов:

Ответ: -2,5

-2,5

Задание 6 № 338915

16.Решите урав­не­ние

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 06.

Ответ: 06

Задание 6 № 353508

17.Уравнение имеет корни −5; 7. Най­ди­те

Рациональные уравнения

1.Решите уравнение: .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение.

Используем свой­ство пропорции.

Ответ: 22.

Ответ: 22

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(1 вар)

Задание 6 № 311755

2.Решите урав­не­ние

Решение.

Умножим левую и пра­вую часть урав­не­ния на 4, получаем:

Ответ: −20.

Ответ: -20

-20

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90101.

Задание 6 № 316225

3.Решите уравнение:

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 6,3.

Ответ: 6,3

6,3

Источник: Диагностическая работа 01.10.2013 Вариант МА90105

Задание 6 № 316341

4.Решите уравнение:

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 36.

Ответ: 36

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.02.2014 ва­ри­ант МА90501.

Задание 6 № 338483

5.Решите урав­не­ние

Решение.

Используем свой­ство пропорции:

Ответ: 4.

Ответ: 4

Задание 6 № 338503

6.Решите урав­не­ние

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение.

Умножим обе части урав­не­ния на

Ответ: −32.

Ответ: -32

-32

Задание 6 № 338583

7.Решите урав­не­ние

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 16.

Ответ: 16

Задание 6 № 338723

8.Решите урав­не­ние

Решение.

Умножим обе части урав­не­ния на 24:

Ответ: −4.

Ответ: -4

-4

Задание 6 № 338805

9.Решите урав­не­ние

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −1,25.

Ответ: -1,25

-1,25

Задание 6 № 338937

10.Решите урав­не­ние

Решение.

Умножим обе части урав­не­ния на 7:

Ответ: 14.

Ответ: 14

Задание 6 № 341402

11.Решите урав­не­ние

Системы уравнений

1.Решите си­сте­му уравнений

В ответе запишите сумму решений системы.

Решение.

Разделим обе части пер­во­го уравнения на 2 и решим си­сте­му методом подстановки:

Ответ: 3,5.

Примечание.

Систему можно было бы ре­шить методом ал­геб­ра­и­че­ско­го сложения:

Ответ: 3,5

3,5

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 1)

Задание 6 № 311327

2.Решите си­сте­му уравнений

В ответе запишите сумму решений системы.

Решение.

Решим си­сте­му методом подстановки:

Ответ: 5.

Ответ: 5

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 2)

Задание 6 № 311338

3.Решите си­сте­му уравнений

В ответе запишите сумму решений системы.

Решение.

Решим си­сте­му методом подстановки:

Ответ: 3.

Ответ: 3

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 3)

Задание 6 № 311350

4.Решите си­сте­му уравнений

В ответе запишите сумму решений системы.

Решение.

Решим си­сте­му ме­то­дом подстановки:

Ответ: −1.

Ответ: -1

-1

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 4)

Задание 6 № 311360

5.Решите си­сте­му уравнений

В ответе запишите сумму решений системы.

Решение.

Решим си­сте­му методом подстановки:

Ответ: 5.

Ответ: 5

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар.5)

Задание 6 № 311370

6.Решите си­сте­му урав­не­ний

В ответе запишите сумму решений системы.

Системы неравенств

1.Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние x, удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств

Решение.

Решим систему:

Искомое наи­боль­шее ре­ше­ние равно −3.

Ответ: −3.

Ответ: -3

-3

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 6 № 314543

2.Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние , удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств

Графики функции

Чтение графиков

Растяжение и сдвиги

Чтение графиков

1.Найдите зна­че­ние по гра­фи­ку функции , изоб­ра­жен­но­му на рисунке.

1) 2) 3) 4)

Решение.

Абсцисса вер­ши­ны параболы равна −1, по­это­му от­ку­да Па­ра­бо­ла пересекает ось ор­ди­нат в точке с ор­ди­на­той 3, по­это­му Тем самым, урав­не­ние параболы при­ни­ма­ет вид По­сколь­ку парабола про­хо­дит через точку (−1; 2), имеем:

Верный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

Задание 10 № 193090

2.Найдите зна­че­ние по гра­фи­ку функции , изоб­ра­жен­но­му на рисунке.

1) 2) 3) 4)

Решение.

Абсцисса вер­ши­ны параболы равна −1, по­это­му от­ку­да Па­ра­бо­ла пересекает ось ор­ди­нат в точке с ор­ди­на­той 3, по­это­му Тем самым, урав­не­ние параболы при­ни­ма­ет вид По­сколь­ку парабола про­хо­дит через точку (−1; 2), имеем:

Таким образом,

Верный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

Задание 10 № 193091

3.Найдите зна­че­ние по гра­фи­ку функ­ции изоб­ра­жен­но­му на рисунке.

1) 2) 3) 4)

Решение.

Значение — это зна­че­ние графика при ор­ди­на­та графика при Значит, Такой ответ указан под номером 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

Задание 10 № 193102

4.Найдите зна­че­ние по гра­фи­ку функции изоб­ра­жен­но­му на рисунке.

Решение.

Поскольку ги­пер­бо­ла проходит через точку (−1; 1), имеем:

Ответ: −1.

Ответ: -1

-1

Задание 10 № 311406

5.На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции . Какие из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но этой функ­ции неверны? Ука­жи­те их номера.

1) функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке

2) 3)

4) пря­мая пе­ре­се­ка­ет гра­фик в точ­ках и

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) Функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке — неверно, функ­ция убы­ва­ет на про­ме­жут­ке и затем воз­рас­та­ет на .

2) — неверно,

3) — верно, видно из графика.

4) Пря­мая пе­ре­се­ка­ет гра­фик в точ­ках и — верно, видно из графика.

Таким образом, не­вер­ные утвер­жде­ния на­хо­дят­ся под но­ме­ра­ми 1 и 2.

Ответ: 12.

Ответ: 12|21

12|21

Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 1 (1 вар.)

Задание 10 № 314676

6.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y = f(x).

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний о дан­ной функ­ции не­вер­ны? За­пи­ши­те их но­ме­ра в по­ряд­ке возрастания.

1) Функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке (−∞;  −1].

2) Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно 8.

3) f(−4) ≠ f(2).

Решение.

Проверим каж­дое утверждение.

1) На луче (−∞;  −1] боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­т­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функции. Следовательно, функ­ция воз­рас­та­ет на этом луче; пер­вое утвер­жде­ние верно.

2) Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно 9. Вто­рое утвер­жде­ние неверно.

3) Зна­че­ния фунц­кии в точ­ках −4 и 2 равны нулю, по­это­му f(−4) = f(2). Тре­тье утвер­жде­ние неверно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 10 № 314703

7.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y = f(x).

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний о дан­ной функ­ции не­вер­ны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.

1) f(−1) = f(3).

2) Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно 3.

3) f(x)>0 при −1<x<3.

Решение.

Проверим каж­дое утверждение.

1) f(−1) = f(3). Пер­вое утвер­жде­ние верно.

2) Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно 4. Вто­рое утвер­жде­ние неверно.

3) f(x)>0 при −1<x<3. Тре­тье утвер­жде­ние верно.

Ответ: 2.

Ответ: 2

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 10 № 314704

8.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y = f(x).

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний о дан­ной функ­ции не­вер­ны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.

1) Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно 9.

2) f(0)>f(1).

3) f( x )>0 при x<0.

Решение.

Проверим каж­дое утверждение.

1) Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно 9. Первое утвер­жде­ние верно.

2) Зна­че­ния фунц­кии в точ­ке 0 равно 8, а в точке 1 — 5 по­это­му f(0) > f(1). Вто­рое утвер­жде­ние верно.

3) На луче (−∞;  0) функ­ция при­ни­ма­ет как по­ло­жи­тель­ные так и от­ри­ца­тель­ные значения. Тре­тье утвер­жде­ние неверно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 10 № 333008

9.На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = ax² + bx + c . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между утвер­жде­ни­я­ми и промежутками, на ко­то­рых эти утвер­жде­ния выполняются. Впи­ши­те в приведённую в от­ве­те таб­ли­цу под каж­дой бук­вой со­от­вет­ству­ю­щую цифру.

УТВЕРЖДЕНИЯ	ПРОМЕЖУТКИ
А) функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке Б) функ­ция убы­ва­ет на промежутке	1) [1;2] 2) [0;2] 3) [-1;0] 4) [-2;3]

Ответ:

Решение.

Функция, изображённая на гра­фи­ке воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке и убы­ва­ет на про­ме­жут­ке Следовательно, на дан­ных про­ме­жут­ках функ­ция воз­рас­та­ет на тре­тьем про­ме­жут­ке и убы­ва­ет на первом.

Ответ: 31.

Ответ: 31

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 17.04.2014 ва­ри­ант МА90601

Задание 10 № 333087

10.На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции вида . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между утвер­жде­ни­я­ми и промежутками, на ко­то­рых эти утвер­жде­ния выполняются. Впи­ши­те в приведённую в от­ве­те таб­ли­цу под каж­дой бук­вой со­от­вет­ству­ю­щую цифру.

УТВЕРЖДЕНИЯ	ПРОМЕЖУТКИ
А) функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке Б) функ­ция убы­ва­ет на промежутке	1) [0; 3] 2) [−1; 1] 3) [2; 4] 4) [1; 4]

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам:

А	Б

Решение.

Функция возрастает, если боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функции. Функ­ция убывает, если боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функции. Дан­ная функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке и убы­ва­ет на про­ме­жут­ке Таким образом, из приведённых про­ме­жут­ков функ­ция толь­ко воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке убы­ва­ет на про­ме­жут­ке

Ответ: 23.

Ответ: 23

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 17.04.2014 ва­ри­ант МА90602

Задание 10 № 339184

11.На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = ax² + bx + c. Для каж­до­го гра­фи­ка ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щее ему зна­че­ния ко­эф­фи­ци­ен­та a и дис­кри­ми­нан­та D.

А)

Б)

В)

Г)

1) a > 0, D > 0

2) a > 0, D < 0

3) a < 0, D > 0

4) a < 0, D < 0

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам:

А	Б	В	Г

Растяжение и сдвиги

1.Установите со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и формулами, ко­то­рые их задают.

1) 2) 3) 4)

А	Б	В

Решение.

Определим вид гра­фи­ка каж­дой из функций.

1) — урав­не­ние параболы, ветви ко­то­рой на­прав­лен­ны вверх.

2) — урав­не­ние прямой.

3) — урав­не­ние верх­ней ветви параболы, на­прав­лен­ной вправо.

4) — урав­не­ние гиперболы.

Тем самым най­де­но соответствие: A — 1, Б — 4, В — 2.

Ответ: 142.

Ответ: 142

Источник: Демонстрационная вер­сия ГИА—2013 по математике.

Задание 10 № 193087

2.График какой из при­ве­ден­ных ниже функ­ций изоб­ра­жен на рисунке?

1)

2)

3)

4)

Решение.

Ветви изображённой на ри­сун­ке па­ра­бо­лы на­прав­лен­ны вверх, а абс­цис­са вер­ши­ны отрицательна. Следовательно, дан­но­му гра­фи­ку могут со­от­вет­сво­вать функ­ции или Вы­де­лим пол­ный квад­рат в обоих выражениях:

Графику со­от­вет­ству­ет ва­ри­ант под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

Задание 10 № 193093

3.На одном из ри­сун­ков изоб­ра­жен гра­фик функ­ции . Ука­жи­те номер этого рисунка.

1)		2)
3)		4)

Решение.

Коэффициент , по­это­му ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх. Абс­цис­са вер­ши­ны па­ра­бо­лы равна:

Правильный ва­ри­ант от­ве­та ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

Задание 10 № 193097

4.На одном из ри­сун­ков изоб­ра­же­на парабола. Ука­жи­те номер этого рисунка.

1)		2)
3)		4)

Решение.

Парабола изоб­ра­же­на на ри­сун­ке 1.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

Задание 10 № 198175

5.График какой из при­ве­ден­ных ниже функ­ций изоб­ра­жен на рисунке?

1)

2)

3)

4)

Решение.

Изображённая на рисунке гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, дан­но­му гра­фи­ку могут со­от­вет­сво­вать функ­ции или При ордината функции на графике равна 5, следовательно, это график функции

Ответ: 3.

Ответ: 3

Задание 10 № 200515

6.На одном из ри­сун­ков изоб­ра­жен гра­фик функ­ции . Ука­жи­те номер этого рисунка.

1)		2)
3)		4)

Решение.

График функции — парабола. Определим тип каждого графика функции.

1) На первом рисунке изображена линейная функция.

2) На втором рисунке изображена логарифмическая функция.

3) На третьем р<