Модуль: уравнения и неравенства

Арифметическая прогрессия

Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией:

an+1 = an + d, где d – разность прогрессии.

an = a1 + d(n – 1) an = ak + d(n – k)
2an = an-1 + an+1 an + am = ak + al, если n + m = k + l
Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Геометрическая прогрессия

Определение: Последовательность, у которой задан первый член b1 ¹ 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ¹ 0, называется геометрической прогрессией:

bn+1 = bn q, где q – знаменатель прогрессии.

bn = b1 qn – 1 bn = bk qn – k
bn2 = bn-1 bn+1 bn bm = bk bl, если n + m = k + l
Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Степень

Определение

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru , если n – натуральное число

a – основание степени, n - показатель степени

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Формулы

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Арифметический квадратный корень

Определение

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru ) - называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень которого равна a.

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Квадратное уравнение:

ax2 + bx + c = 0

Дискриминант: D = b2 – 4ac

       
  Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru   Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение: x2 + px + q = 0

x1 + x2 = - p

x1 × x2 = q

x1+x2 = -b/a

x1× x2 = c/a

Логарифм

Определение

Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru , что Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru.

a - основание логарифма (a > 0, a ¹ 1),

b - логарифмическое число ( b > 0)

Десятичный логарифм: Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Натуральный логарифм: Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru где e = 2,71828

Формулы

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Дроби

Сложение

Деление с остатком:

  Признак Пример
На 2 Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой …….6
На 4 Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4. ……12
На 8 Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8. …..104
На 3 Числа, сумма цифр которых делится на 3.
На 9 Числа, сумма цифр которых делится на 9.
На 5 Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5. …….5
На 25 Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25. ……75
На 10 Числа, оканчивающиеся нулём. ……0

Формуладеления с остатком: n = m×k + r, где n – делимое, m - делитель, k - частное, r – остаток: 0 £ r < m   Пример: Любое число можно представить в виде: n = 2k + r, где r = {0; 1} или n = 4k + r, где r = {0; 1; 2; 3}  
Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Вычитание

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Умножение

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Деление

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Составная дробь Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Делимость натуральных чисел:

Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.

Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.

Число n называется простым, если его делителями являются

только единица и само число n.

Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}

Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общихделителей, кроме единицы.

Десятичные числа:

Стандартный вид: 317,3 = 3,173× 102 ; 0,00003173 = 3,173× 10-5

Форма записи: 3173 = 3× 1000 + 1× 100 + 7× 10 + 3

Модуль

Формулы Определение

· ½x½ ³ 0

· ½x - y½ ³ ½x½ - ½y½ Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

· ½-x½=½x½

· ½x × y½ = ½x½ × ½y½

· ½x½ ³ x

· ½x : y½ =½x½ : ½y½

· ½x + y½ £ ½x½ + ½y½

½x½2 = x2

Неравенства

Определения:

Неравенством называется выражение вида:

a < b (a £ b), a > b (a ³ b)

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Основные свойства:

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru
Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru
Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Модуль: уравнения и неравенства

1. Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

2. Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

3. Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

4. Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

5. Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Периодическая дробь

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru Правило: Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Признаки делимости чисел:

Проценты

Определение:

Процентом называется сотая часть от числа. 1%A = 0,01A

Основные типы задач на проценты:

Сколько процентов составляет число A от числа B? Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

B - 100%

A - x%

Сложные проценты.

Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%.

Как, в итоге, изменилось исходное число?

1) A1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A

2) A2 = (100% - 25%)A1=75%A1 = 0,75A1 = 0,75×1,2A = 0,9A = 90%A

3) A1 – A = 90%A – 100%A = -10%A

Þ Ответ: уменьшилось на 10%. Изменение величины.

Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Þ Ответ: уменьшится на 20%

Модуль: уравнения и неравенства - student2.ru

Þ Ответ: уменьшится на 20%

Наши рекомендации