Интегрирование при помощи степенных и обобщённых степенных рядов.
Определение: Функция называется голоморфной в точке , если она представима в точке , т.е. , причём ряд сходится в интервале , ( ).
Сформулируем теорему Коши для линейного дифференциального уравнения n-ого порядка:
(1).
Заданы начальные условия , ,…, при
Теорема Коши:
Если все функции и являются голоморфными в точке , т.е. , , -сходятся в области . Тогда существует единственное решение с заданными начальными условиями, голоморфными в области ,
(2)
Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка.
(3)
, , ,
, при (3)
Тогда на основании теоремы Коши существует единственное голоморфное в окрестности решение (4)
Подставим решение (4) в уравнение (3):
+ + (5)
или
+ + (6)
Воспользуемся формулой произведения степенных рядов.
(7)
Тогда уравнение (6) имеет вид:
+ + (8)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим:
+ + (9)
: , находим С2
: , находим С3.
И так далее.
Коэффициенты находятся единственным образом.
+ +
Пусть , и ,
Тогда мы получим два частные решения и , которые образуют в интервале фундаментальную систему.
Следовательно, общее решение построено в окрестности точки , которая называется обыкновенной.
Точка называется обыкновенной, если все коэффициенты уравнения голоморфны в этой точке, в противном случае, точку будем называть особой точкой дифференциального уравнения.
На практике удобно брать фундаментальную систему решений ??? в точке .
В нашем случае .
(10)
,
определяя коэффициенты и по формуле (9).
Пример 1:
Рассмотрим уравнение Эйри:
(11)
очевидно, что обыкновенная точка.
, (12)
Подставим (12) в уравнение (11):
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим:
:
:
:
:
:
:
Аналогично находим :
- общее решение уравнения Эйри.
Рассмотрим уравнение Бесселя n-ого порядка:
(13),
когда (14)
-особая точка.
Пусть , замена (15)
Приводим уравнение (14) к уравнению:
(16)
, или
(17)
Функция Бесселя порядка:
: (18)
- :
Ни , ни не являются голоморфными решениями в окрестности точки . Этого следовало ожидать, т.к. является особой точкой.
Обобщённым степенным рядом по степеням называется ряд вида , где показатель ρ есть некоторое постоянное число, а ряд есть сходящийся степенной ряд, причём .
Какой вид должны иметь коэффициенты уравнения (1) в окрестности особой точки , чтобы хоть одно из частных решений было представимо в окрестности этой особой точки в виде обобщённого степенного ряда по степеням , т.е. , (19)
Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема:
Теорема:
Для того, чтобы уравнение (1) имело в окрестности точки хоть одно частное решение в виде обобщённого степенного ряда (19), достаточно, чтобы это уравнение имело вид:
, (20)
где , сходящиеся степенные ряды при , причём не равны нулю одновременно, ибо в противном случае точка не особая и существует два линейно независимых решения, голоморфных в точке , и ряд заведомо сходится в той же области.
ЛЕКЦИЯ 7.