Задача3. Анализ трёхфазной электрической цепи при схеме соединения приёмников “ звездой”.

В трёхфазную сеть с симметричной системой линейных напряжений Uл включён трёхфазный потребитель электроэнергии, фазы которого имеют комплексные сопротивления Zа, Zb, Zс и соединены “звездой”.

Определить:

1) линейные и фазные токи,

2) активную Р, реактивную Q и полную S мощности потребителя.

3) показания приборов: амперметра и вольтметра.

4) Построить векторную диаграмму токов и напряжений

III.Краткие теоретические положения.

3.1 Трёхфазная система питания потребителей электроэнергии.

Трёхфазная система питания электрических цепей представляет собой совокупность трёх синусоидальных ЭДС или напряжений, одинаковых по частоте и амплитудному значению, сдвинутых по фазе относительно друг друга на угол 120.

E_A = E_Am sin wt

E_B = E_Bm sin (wt-2 /3)

E_C = E_Cm sin (wt+2 /3).

В симметричных источниках питания максимальные значения ЭДС равны, соответственно равны и действующие значения ЭДС

E_A=E_B=E_C= Eф. Пренебрегая внутренним сопротивлением источника, можно принять соответствующие ЭДС источника равными напряжениям, действующим на его зажимах:

E_A=U_A, E_B=U_B, E_C=U_C.

Комплексные напряжения симметричного источника питания могут быть представлены системой уравнений:

Ua = Uф e ^j0 = Uф,

Ub = Uф e^-j120 = Uф(-0,5- j /2) ,

Uс = Uф e^+j120 = Uф(-0,5+ j /2)

Фазным называется напряжение между началом и концом фазы. Линейным назовём напряжение между двумя линиями или между началами двух фаз. Соотношение между линейным и фазным напряжениями симметричного источника питания: U_Л = Uф.

3.2 Трёхфазные электрические цепи при соединении фаз приёмников “звездой”.

При соединении фаз трёхфазного источника питания “звездой” концы фаз источника X,Y,Z объединены в общую нейтральную точку N, а начала фаз А,В,С подключаются к соответствующим линейным проводам Аа, Вв, Сс. Аналогичным образом при соединении трёхфазных потребителей объединяются в нейтральную точку n концы его фаз x,y,z, при начала фаз а,в,с подключаются к линейным проводам.

Линейные токи In в питающих линиях имеют условно-положительное направление от источника энергии к приёмнику. При соединении приёмника энергии по схеме “звезда” линейные токи I_A,I_B,I_C одновременно являются и фазными токами приёмника Iа,Iв,Iс, т.е.

I_A= Iа; I_B = Iв; I_C = Iс.

Трёхфазные источники питания практически всегда выполняются симметричными. Трёхфазные потребители электроэнергии могут быть симметричными и несимметричными. Для симметричных приёмников электроэнергии справедливы соотношения, полученные для трёхфазных симметричных источников питания.

При этом:

Ua = Ub=Uc=Uф; U_AB = U_BC =U_CA = U_Л; Za=Zb=Zc=Zф;

cosΨa = cosΨb = cosΨc = CosΨф ; U_Л= Uф.

Для несимметричных приёмников не все эти соотношения соблюдаются.

При анализе трёхфазных электрических цепей широко используется метод комплексных чисел.

При несимметричной нагрузке комплексные сопротивления фаз приёмника не одинаковы (Za≠Zb≠Zc), при этом комплексное напряжение

UnN, действующее между нейтральными точками N и n системы, определяют по методу двух узлов

. . . .

U_nN =

где E_A, E_B, E_C – комплексные напряжения источника питания.

Ya = 1/Za; Yb = 1/Zb; Yc= 1/Zc – комплексные проводимости фаз приемника.

Комплексный ток в нейтральном проводе находят в соответствии с уравнением, составленным по первому закону Кирхгофа для нейтральной

. . . .

точки n цепи: I_N =Ia + Ib + Ic.

Комплексные фазные напряжения приёмника электроэнергии находят из уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура:

. . . . . . . . .

Ua=E_A- UnN; Ub=E_B - UnN; Uc=E_C - UnN.

При этом фазные токи приёмника определяют по закону Ома для соответствующих участков цепи:

. . . . . .

Ia=Ua/Za; Ib=Ub/Zb; Ic=Uc/Zc.

Трёхфазная система обеспечивает приёмники электроэнергии симметричным питанием. При этом активная, реактивная и полная мощности могут быть определены по следующим формулам с учётом знака реактивных сопротивлений:

P = I²_A Ra + I²_B Rb + I²_C Rc =UaIa cosΨa + UbIb cosΨb + UcIc cosΨc ;

Q= I²_A Xa + I²_B Xb + I²_C Xc = IaUa sinΨa + IbUb sinΨb + IcUc sinΨc ;

S = = I²_A Za + I²_B Zb + I²_C Zc;

где cosΨa = Ra/ Za; cosΨb = Rb/ Zb; cosΨc = Rc/ Zc;

sinΨa = Xa/ Za; sinΨb = Xb/ Zb; sinΨb = Xb/ Zb.

При симметричной нагрузке эти формулы приводят к виду:

P= 3 Iф²Rф= Uл Iл cosΨф ;

Q= 3 Iф²Xф= Uл Iл sinΨф ;

S= = Uл Iл,

где cosΨф = Rф/ Zф; sinΨф = Xф/ Zф.

Таблица 3.

№ вар.	Za, Ом	Zb, Ом	Zc, Ом	Uл, В
	15+j10	10-j20	J40
	10-j10	20+j20	J30˚ 10e
	15-j20		j45˚ 20e
	20+j10	J30
		j45˚ 10e	10-j20
	j40˚ 4e	-j20	15+j10
	-j30˚ 20e	j15	10+j10
	J90˚ 10e	10+j15
	J40	-j45˚ 15e	40-j10
	-j20	J30˚ 10e
	10-j10	10+j10	j45˚ 15e
	20+j20		J30˚ 20e
	-j90˚ 10e	10+j20
	J60˚ 15e		-j30
	j45˚ 25e	10+j30	J90˚ 10e
	10+j10	10-j10
	20-j20	10+j10	20-j10
	5-j10	10+j5	10ej45
	25+j25	10-j20	30ej30
	20ej30	10+j20	30e-j30
		40-j20	20+j40
	10+j30	20e-j90
		10-j20	30+j10
	30-j10		20+j20
	40-j20	30ej45
		20ej30	30e-j60
		20+j10	30-j30
		10+j30	30e-j90
	20-j20		50ej90
	50ej90		40-j10