Предмет и задачи динамики сооружений

Лекция 20

Основы динамики сооружений

Учебные вопросы:

Предмет и задачи динамики сооружений

Системы с одной степенью свободы

Пример расчета балки в виде системы с одной степенью свободы

Системы с одной степенью свободы

Рассмотрим систему в виде невесомой балки с сосредоточенной массой m, горизонтальным перемещением и поворотом которого будем пренебрегать. При таких предпосылках единственная материальная точка, т.е. сосредоточенная масса величиной m может совершать перемещения только в вертикальном направлении, следовательно, система имеет одну степень свободы.

Рис.20.1

Будем исследовать дви­жение системы из ее исходного положения равновесия при t = 0 (рис.20.1, а), считая перемещение вниз положительным.

Пусть на балку действует динамическая сила величиной: , где - частота вынуждающей силы. Обозначая дополни­тельное перемещение мас­сы m от динамических на­грузок через y(t), вводим следующие начальные условия:

; . (20.1)

В процессе движения на массу действует сила инерции и сила сопротивления по Фойхту . Сила сопротивления движению возникает от различных внешних и внутренних причин: сопротивление движению внешней среды, трение в местах соединения элементов и опорных частях, внутреннее неупругое сопротивление материалов конструкций и т.д.

Заметим, что система, обладающая свойствами внутреннего сопротивления называется консервативной, а система, лишенная данного свойства - неконсервативной.

Вводим следующие обозначения: - вертикальное перемещение балки в точке закрепления массы m от действия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в той же точке; - вертикальное перемещение балки в точке закрепления массы m от динамической силы , при этом: ; - вертикальное перемещение балки в точке закрепления массы от действия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в точке приложения внешней силы при ее отсутствии.

Применяя метод суперпозиции, очевидно, что, в произвольный момент времени полное перемещение сосредоточенной массы m принимает значение:

, (20.2)

откуда и определяется дифференциальное уравнение движения рассматриваемой системы:

. (20.3)

Принимаем обозначения: - круговая частота соб­ственных колебаний системы; - коэффициент затухания.

С учетом введенных обозначений, уравнение движения системы (14.3) принимает вид:

. (20.4)

Решение дифференциального уравнения (20.4), с учетом начальных условий (20.1) и, учитывая, что для реальных конструкций всегда выполняется , записывается в виде:

. (20.5)

Здесь приняты следующие обозначения:

; ; . (20.6)

Круговая частота называется круговой частотой собственных колебаний системы с учетом сил затухания.

Коэффициент затухания колебания определяется по корректированной гипотезе Фойхта, позволяющей получить наиболее обоснованные результаты для учета диссипации энергии в системе в процессе колебаний, т.е.:

, (20.7)

где - называется логарифмическим декрементом затухания и определяется через отношения соседних амплитуд колебания, возникающих через промежуток времени :

. (20.8)

Для различных конструкций средние значения приводятся в таблице 20.1.

Таблица 20.1

Наименование конструкции
Стальные мосты Железобетонные мосты Железобетонные балки Железобетонные рамы Железобетонные ребристые перекрытия	0,17 0,63 0,56 0,25 0,57

Выражение (20.5) определяет перемещение сосредоточенной массы при действии силы , изменяющейся во времени по произвольному закону. Первый член выражения характеризует собственные колебания системы, а второй, интегральный член - вынужденные колебания.

Так как , то решение (20.5) преобразуется и принимает вид:

. (20.9)

Здесь приняты следующие обозначения:

; ; . (20.10)

Если в момент времени t = 0 система находится в состоянии покоя, т.е. , то решение (20.9) с учетом (20.10) преобразуется в виде:

.

Величина k_Д называется коэффициентом динамичности и характеризует эффект от динамической нагрузки по отношению к аналогичной статической нагрузке величиной P(t) = P₀ = const.

Коэффициент динамичности существенно зависит от отношения . При коэффициент динамичности стремится принять максимальное значение и колебания системы при называются резонансными, а амплитуда колебаний принимает опасное значение:

.

Пример расчета балки в виде системы с одной степенью свободы

Проверить прочность балки в рабочем режиме вибратора, расположенного по середине пролета балки (рис.20.2, а), учитывая только вертикальную составляющую вертикальной силы: , принимая: G = 15 кН - вес вибратора; Р₀ = P_a = 3 кН - вес не­уравновешенных частей вибра­тора; e = 0,01 м - эксцентриситет относительно оси вращения неуравновешенных частей; = 30 с^-1 - круговая частота внешней силы; l = 4 м - пролет балки. Поперечное сечение балки выполнено из двутавра №20, материал Ст3. Следовательно, Е=2,1×10⁸ кН/м² - модуль деформации материалов; J_x =1,84×10^-5 м⁴ - момент инер­ции; W_x = 1,84×10^-4 м³ - момент сопротивления поперечного сечения; R = 25×10⁴ кН/м² - расчетное сопротивление; = 0,1 - логарифмический декремент. Интенсивность распределенных нагрузок принимается равной: q = 4 кН/м.

На первом этапе для выполнения расчетов необходимо определить величину коэффициента динамичности. Для этого сначала определим величину коэффициента затухания .

Воспользуемся эпюрой моментов, изображенной на рис.20.2, б и по формуле Мора определим :

.

Круговая частота собственных колебаний без учета затуханий:

c^-1.

Рис.20.2

Собственная частота системы с учетом затухания колебания принимает значения:

c^-1.

Коэффициент динамичности определяется из (14.10) по формуле:

.

Последовательно определим максимальное значение момента в опасном сечении (рис.20.2, в, г) от статических и динамических сил:

кН×м;

кН×м.

Максимальное напряжение в опасном сечении принимает значение:

кН/м²,

т.е. прочность конструкций обеспечена.

Рис.14.3

Во время движения, пренебрегая сопротивлением внутренних и внешних сил, на балку будут действовать в качестве внешних сил инерционные силы , (i = 1,2,3,...,n). Применяя метод сил, перемещение произвольной массы y_i (t) записывается в виде суммы:

, (14.11)

где - перемещение i-ой массы от статической единичной силы, приложенной к k-ой массе от статической единичной силы по направлению соответствующей инерционной силы.

Подставляя выражение инерционных сил в систему уравнений (14.11), получим:

, (i = 1,2,3,...,n). (14.12)

Система дифференциальных уравнений движения (14.12), опи­сывающая свободные колебания заданной балки, представляет со­бой замкнутую систему дифференциальных уравнений второго по­рядка с постоянными коэффициентами, решение которой в общем случае записывается в виде:

. (14.13)

Рассмотрим одно частное произвольное решение соответствую­щее r-ой форме колебаний:

. (14.14)

Подставляя (14.14) в (14.12) получим:

, (14.15)

которое распадается на две группы уравнений:

(14.16)

и

(14.17)

Решение уравнения (14.16) записывается в виде:

, (r = 1,2,3,...,n). (14.18)

Как видно из (14.18), по произвольной форме r = 1,2,3,...,n коле­бания происходят по гармоническому закону с частотой . Здесь - частота собственных колебаний заданной системы, соответст­вующая r-ой форме.

Согласно (14.14) - является перемещением i-ой массы при r-ой форме колебания, значения которой определяется из решения системы алгебраических уравнений (14.17).

Система (14.17) относительно (i = 1,2,3,...,n) имеет различ­ные решения. Очевидно, решение º 0 свидетельствует об отсут­ствии движения системы, т.е. состояние покоя системы, которое нас не интересует.

Система (14.17) может иметь решения, отличные от нулевого лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю, т.е. когда выполняется условие:

, (14.19)

где принято обозначение .

Раскрывая определитель (14.19), получаем уравнения n-ой степени относительно , а при его решении получим n значений . Каждому значению (r = 1,2,3,...,n) будет соответствовать своя собственная частота:

,

и свой собственный вектор:

.

При этом собственные формы упругих систем ортогональны между собой:

, (r,k = 1,2,3,...,n; r ¹ k). (14.20)

Величины непосредственно из решения (14.17) определить нельзя, они могут быть найдены с точностью до произвольного постоянного множителя, т.е. по существу могут быть найдены от­ношения между . Принимая обозначения система (14.17) преобразуется в вид:

Последняя система имеет одно лишнее уравнение, так как име­ем n уравнений относительно (n-1) неизвестных . Отбрасывая одно из этих уравнений, решая оставшуюся систему определяют все неизвестные .

Далее, полагая _, по формуле определяются все остальные амплитуды перемещений масс при r-ой произволь­ной форме колебаний.

Возвращаясь к выражению (14.13) с учетом (14.18) можем запи­сать:

(14.21)

Учитывая, что , A_r и B_r являются произвольными постоян­ными, решение (14.21) можно записать в более удобной форме:

и можно выразить через начальные условия каждой массы при t = 0, которыми являются перемещения i-ой массы и ее скорости , и следовательно, задача о свободных колеба­ниях системы с произвольным числом свободы будет полностью решена.

Рис.14.4

Таким образом, роль внешних сил здесь будут играть величины:

. (14.22)

Канонические уравнения метода сил в данном случае записы­ваются в виде:

(r = 1,2,3,...,n). (14.23)

Подставляя (14.22) в (14.23) и после ряда преобразова­ний, получим:

(i = 1,2,3,...,n). (14.24)

Здесь - амплитудное значение перемещения i-ой массы, вызванное действием системы внешних сил .

Частное решение системы уравнений (14.24) записывается в виде:

, (14.25)

где - амплитуда перемещения i-ой массы; - частота вынуж­денных колебаний системы.

Выражение для определения инерционных сил принимает вид:

Z_i (t) = , (14.26)

где - амплитудные величины инерционных сил.

Принимая обозначение

(14.27)

и с учетом (14.26) систему уравнений можно преобразовать к сле­дующему виду:

(14.28)

решение которого записывается в виде:

. (14.29)

Здесь D и D_i - соответственно, определитель системы (14.28) и определитель, полученный из D заменой элементов (k = 1,2,..., n) соответствующими свободными членами (i = 1,2,..., n), т.е.

;

. (14.30)

Нетрудно заметить, что определитель D совпадает по форме с выражением (14.19), и поэтому при , т.е. при стремлении зна­чения частоты вынужденных колебаний к частоте собственных ко­лебаний заданной системы, получим , следовательно и соответственно, и согласно (14.26) , т.е. будет иметь место резонанс.

График зависимости от частоты имеет вид, приведенный на рис.14.5.

Рис.14.5

Однако увеличение амплитуды колебаний при резонансе до бесконечности является абстракцией. В действительности всегда имеются контуры, ограничивающие величину амплитуды , в частности внутреннее трение материала конструкции или внешнее сопротивление. Поэтому в действительности при происходит значительное увеличение , при этом оставаясь конечной величи­ной.

После определения из (14.29) с учетом (14.22) следует опре­делить амплитудное значение внешних сил:

,(i = 1, 2,..., n), (14.31)

и по значениям (i = 1, 2,..., n) определить амплитудное значе­ние внутренних усилий.

Например, общее выражение для определения амплитудных значений изгибающих моментов от динамических сил R_i (t) для статически неопределимых систем можно записать в виде:

,

где M_ik (k,i = 1,2,..., n) - значение момента в i-ом сечении при действии единичной силы в точке k.

НАЗАД НА ОГЛАВЛЕНИЕ ДАЛЕЕ

Главная/Лекции/Расчетно-графические работы/Расчеты строительных конструкций на ЭВМ/Зачетные вопросы/Справочные данные/Литература

Пример динамического расчета рамы

На раме с размерами, указанными на рис.14.6, в точках 1 и 2 установлены два одинаковых вибратора весом G = 20 кН каждый и весом неуравновешенных частей Р₀ =1,2 кН, размещенные на оси вращения с эксцентриситетом е = 0,015 м. Вибраторы вращаются синфазно с частотой n = 600 об/мин.

Рама выполнена из двух двутавров № 50 (ГОСТ 8239-72), т.е. J_x = 3,29×10^-4 м⁴; W_x =0,157×10^{-2 м3}. Рама изготовлена из стали с харак­теристиками Е = 2,1×10⁵ МПа, R = 190 МПа.

Пренебрегая собственным весом рамы и внутренним трением мате­риала, требуется:

1. Составить канонические урав­нения по методу сил, определяющие свободные колебания рамы, и полу­чить значения частот и периодов соб­ственных колебаний рамы;

2. Вычислить отношения ампли­туд и графически изобразить возможные формы собственных ко­лебаний рамы;

3. Проверить ортогональность собственных форм колебаний си­стемы;

4. Определить круговую частоту вынужденных колебаний и изо­бразить примерный вид графика коэффициента динамичности;

5. Составить канонические уравнения по методу сил, определя­ющие вынужденные колебания системы, и определить амплитуд­ные значения инерционных сил;

6. Построить статическую эпюру изгибающих моментов от всех вибраторов и эпюру амплитудных значений изгибающих моментов при вынужденном режиме колебания рамы;

7. Построить эпюру моментов при одновременном действии статических и динамических сил и определить положение опасного сечения конструкции;

8. Вычислить максимальное значение напряжения в опасном сечении и проверить условия прочности для принятого поперечно­го сечения рамы.

Решение:

Расчетная схема рассматриваемой системы показана на рис.14.6. Под действием периодической возмущающей нагрузки рама совер­шает колебательное движение.

Рис.14.6

Пренебрегая внутренним трением материала рамы и ее собственным весом, упругие перемещения сечений 1 и 2 по принципу независимости действия сил записы­ваются в виде:

(14.32)

где - перемещение i-ого сечения от статической единичной силы, приложенной в k-ом сечении (i = 1,2; k = 1,2) по направле­нию соответствующей инерционной силы; , - перемеще­ния сечений 1 и 2 от всех динамических нагрузок. При этом:

(14.33)

где

(14.34)

С учетом выражений (14.33) и (14.34) и m₁ = m₂ = m уравнение (14.32) в стационарном режиме колебаний можно переписать в виде:

(14.35)

где .

Решая систему уравнений (14.35) определяют амплитудные зна­чения инерционных нагрузок (способом Крамера):

, (i = 1,2), (14.36)

где приняты следующие обозначения:

.

Учитывая, что в данном случае P₁ = P₂, амплитуды динами­ческого прогиба и изгибающего момента в произвольном i-ом (i = 1,2,...) сечении могут быть определены по формулам:

(14.37)

Уравнения движения (14.32) при свободных колебаниях рамы, т.е. при P₁ = P₂ = 0, принимают вид

(14.38)

Относительно амплитуды перемещения последняя система уравнений преобразуется в виде:

(14.39)

где .

Здесь - частота собственных колебаний рамы.

Система алгебраических уравнений (14.39) относительно ампли­туды перемещения сосредоточенных масс имеет различные реше­ния. Очевидное решение свидетельствует об отсутст­вии движения системы и не подходит по смыслу поставленной задачи.

Система (14.39) может иметь решения, отличные от нулевого, лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю, т.е. когда выполняется условие:

. (14.40)

Раскрыв определитель (14.40), получим квадратное уравнение относительно . После определения с учетом (14.39) вычисляются собственные частоты .

Первая частота называется частотой основного тона собст­венных колебаний. Каждой частоте соответствует определенная форма колебаний системы. Форму колебания можно изобразить графически. Для этого в уравнения (14.39) следует подставить зна­чение (i = 1, 2), причем:

. (14.41)

При этом одно из двух уравнений (14.39) становится лишним. Пренебрегая первым уравнением (14.39), из второго получим:

, (i = 1,2). (14.42)

После чего, задавая значение y_ii (i = 1,2), можно вычислить в долях , а - в долях и изобразить графический характер возможной формы колебаний первого и второго тона колебаний.

Формы колебаний должны быть ортогональны. Условие ортого­нальности собственных форм записывается в виде:

, (r,k = 1,2; r ¹ k). (14.43)

Определив собственные частоты и и вычислив частоту вынужденных колебаний , необходимо сопоставить с ближай­шей из или . Во избежание наступления резонансных колеба­ний рекомендуется, чтобы отличалась от любой из частот , не менее чем на 30%. Если при решении задачи окажется, что это требование не выполняется, то следует изменить значение или . Этого можно достичь путем:

- изменения геометрических или физико-механических характеристик материалов элементов рамы;

- уменьшения или увеличения частоты вращения вибратора.

При этом во всех случаях напряжения в опасных сечениях ра­мы должны удовлетворять условиям прочности.

Переходим к численной реализации решения в соответствии с постановкой задачи.

1. Определение частот и периодов собственных колебаний рассматриваемой системы

Предварительно определим изгибную жесткость элементов заданной системы:

кН×м².

Заданная система один раз статически неопределима. Основная система метода сил представлена на рис.14.7, а. Эпюра моментов в основной системе от действия силы Х₁ = 1 показана на рис.14.7, б, а от единичных внешних сил - на рис.14.8, а, б.

Сначала рассчитываем раму на действие силы . Канони­ческое уравнение метода сил в данном случае записывается в виде:

. (14.44)

Рис.14.7

Рис.14.8

Коэффициенты и находим перемножением эпюр и по формуле Мора.

Здесь определяется как результат перемножения эпюры (рис.14.7, б) самой на себя, как результат перемножения эпюры (рис.14.7, б) с (рис.14.8, а).

(14.45)

С учетом (14.45) из решения (14.44) получим:

.

Эпюра изгибающих моментов в заданной системе от действия сил Р₁ =1 и Х₁ = 5/16 изображена на рис.14.9, a.

Рис.14.9

Рассчитываем раму на действие силы Р₂ = 1. Каноническое уравнение метода сил в данном случае принимает вид:

. (14.46)

Здесь определяется как результат перемножения эпюры моментов, изображенных на рис.14.7, б и 14.8, б, в соответствии с формулой Мора:

. (14.47)

С учетом значения из (14.45) и значения из (14.47) и из (14.46) получим:

.

Эпюра изгибающих моментов от действия сил Р₂ = 1 и Х₁ = = 7/4 в заданной системе изображена на рис.14.9, б.

Единичное перемещение определяется по формуле Мора в результате перемножения эпюры самой на себя, применяя формулы умножения двух эпюр моментов в виде двух трапеций на произвольном участке. Получим:

м/кН.

Единичное перемещение определяется по формуле Мора перемножением эпюры самой на себя (рис.14.9, б):

м/кН.

Единичное перемещение определяется по формуле Мора в результате перемножения эпюр и , изображенных соот­ветственно на рис.14.9, а, б:

м/кН.

Решив уравнение (14.40), получим:

,

откуда

.

Окончательно =166,75×10^-6 м/кН; =10,.35×10^-6 м/кН.

По формуле (14.41) определяется значение собственной частоты рассматриваемой рамы:

c^-1;

c^-1.

Периоды собственных колебаний рассматриваемой системы принимают значения: c; c.

2. Определение амплитуды собственных колебаний и графическое изображение собственных форм

Для вычисления значения отношений амплитуды собственных колебаний из (14.42), предварительно определив кН∙с²/м, имеем при = 1 и при = 1, соответственно:

Формы собственных колебаний рассматриваемой системы изо­бражены на рис.14.10 (а - первая форма; б - вторая форма).

3. Проверка ортогональности собственных форм колебаний

Из условия ортогональности (14.43) имеем:

.

Рис.14.10

4. Определение круговой частоты вынужденных колебаний и изображение примерного вида графика коэффициента динамичности в зависимости от отношения частот вынужденных и собственных колебаний

В стационарном режиме круговая частота вынужденных колеба­ний системы имеет значение:

c^-1.

Сопоставим величину с величиной ближайшей собственной частоты рамы :

.

Во избежание резонансных колебаний надо изменить величину или . В данном случае, принимая n = 900 об/мин, получим:

c^-1;

,

Рис.14.11

Следовательно, при с^-1 при­нятое условие во избежание резонансных колебаний выполняется.

Примерный вид графика коэффици­ента динамичности в зависимости от изображен на рис. 14.11.

5. Определение амплитудных значений инерционных сил

В соответствии с принятым обозначением по формулам (14.34) и (14.35) последовательно определяем:

м/кН;

м/кН;

кН;

м/кН;

м/кН;

м²/кН;

м²/кН;

м²/кН.

По (14.33) определяем амплитудные значения инерционных сил:

= |D₁/D |= |3,72/0.5| = 7,44 кН;

= |D₂/D |= |9,64/0.5 |= 19,28 кН.

6. Определение эпюры изгибающих моментов от действия собственного веса вибраторов и амплитудных значений изгибающих моментов при вынужденном стационарном режиме колебания рамы

Значение изгибающих моментов, возникающих от действия собственного веса вибраторов, в произвольном сечении опреде­ляется по формуле:

.

Определяем значение в характерных сечениях (0; 1; 2; 3) рамы (см. рис.14.9):

сечение 0: = 20×(9/8 - 3/2) = -7,5 кН×м;

сечение 1: = 20×(-15/16 + 3/4) = -3,75 кН×м;

сечение 2: = 0;

сечение 3: = 20×(0 + 3) = 60 кН×м.

Эпюра изгибающих моментов приведена на рис.14.12.

Амплитудные значения изгибающих моментов от действия внешних динамических и инерци­онных нагрузок в соответствии с (14.37) определяются:

=

.

Рис. 14.12

Согласно последней формуле в характерных сечениях имеет

следующие значения:

сечение 0: кН×м;

сечение 1: кН×м;

сечение 2: = 0;

сечение 3: кН×м.

Эпюра изображена на рис.14.12 (пунктиром).

7. Построить эпюру моментов при одновременном действии статических и динамических сил и определить положение опасного сечения конструкции

Результирующее значение изгибающих моментов, действующих в характерных сечениях при одновременном действии статических и динамических нагрузок, определяется по формуле:

.

Эпюра M_k, как и эпюры