Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.
Определение: По определению кривая называется выпуклой вниз (вверх) на отрезке [a,b], если любая дуга этой кривой с концами в точках ()расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.
Определение: Множество называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества, отрезок, соединяющий их лежит также в этом множестве.
Выпуклость вверхВыпуклое множество
Выпуклость внизНевыпуклое множество
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие выпуклости на отрезке)
Пусть функция непрерывна на [a,b] и имеет вторую производную на (a,b). Для того чтобы кривая была выпуклой кверху (книзу) на [а,b], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство ( ) для всех .
Доказательство:
Пусть наша кривая выпукла кверху на [a,b]. Тогда для любых х и h >0 таких, что х, х+2h [a,b], имеет место неравенство , откуда .
Если теперь и - произвольные точки интервала (a,b), то, положив h = ( - )/n, будем иметь
.
Таким образом, ( , и, переходя к пределу при , получим неравенство , показывающее, что производная на интервале (a,b) не возрастает. Но тогда на (a,b).
Обратно, пусть и . Нам нужно доказать, что функция , где , удовлетворяет неравенству . Допустим, что это не так. Тогда . Поэтому .
Применяя формулу Тейлора, получим
0= . Но в правой части этой цепочки равенств первый член по предположению отрицательный, а второй неположительный, поэтому правая часть меньше нуля, и мы пришли к противоречию.
Доказательство в случае аналогично.
Теорема доказана.
Билет 23
Правило Лопиталя. Случай 0/0.
Теорема 1:(Неопределенность вида 0/0)
Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а,
в этой окрестности и в той же окрестности, тогда, если , то
Доказательство:
A – конечное.
Доопределим функции: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x]
при
f(a)=g(a)=0 =>
2)
Пусть
Введем функции и
Теорема доказана.
Замечание: обратное неверно.
Пример:
Билет 24
Правило Лопиталя. Случай .
Теорема:
Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a и и в некоторой выколотой окрестности точки a, тогда, если
, то и
Доказательство:
Возьмем произвольную последовательность , , , тогда по определению предела по Гейне
и
Тогда - для f(x) определение предела вида |f(x)|>C, где C =
- аналогично для g(x)
Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства:
,
Используя термины можно записать:
, Пояснение: , а т.к.
Найдем теперь предел отношения к :
[ можно добавить или отнять , предел от этого не изменится ]
[ воспользуемся теоремой Коши: или - смотря, что больше]
- по определению предела по Гейне.
Мы получили еще не совсем теорему о сходимости последовательности через подпоследовательности, ( ее формулировка: если такова, что из любой её подпоследовательности можно извлечь в свою очередь подпоследовательность , сходящуюся к конечному или бесконечному А, то предел =А) мы пока что только из самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не значит, что сама последовательность сходится.
Теперь возьмем произвольную последовательность и её произвольную подпоследовательность , тогда по только что доказанному из подпоследовательности мы можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к , т. е.
Теперь мы взяли произвольную последовательность, поэтому
Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.
Билет 25
Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
Кроме рассмотренных неопределенностей и , встречаются неопределенности вида , , , , , определение которых очевидно. Эти неопределенности сводятся к неопределенностям или алгебраическими преобразованиями.
1) Неопределенность (при).
Ясно, чтоили .
2) Неопределенности вида , , для выражения сводятся к неопределенности .
Согласно определению этой функции . , то .
3) Неопределенность ( , , при )
Легко видеть, что .
Билет 26