Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие

Определение: По определению кривая Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru называется выпуклой вниз (вверх) на отрезке [a,b], если любая дуга этой кривой с концами в точках Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru (Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru)расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.

Определение: Множество называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества, отрезок, соединяющий их лежит также в этом множестве.

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

 
  Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Выпуклость вверхВыпуклое множество

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Выпуклость внизНевыпуклое множество

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие выпуклости на отрезке)

Пусть функция Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru непрерывна на [a,b] и имеет вторую производную на (a,b). Для того чтобы кривая Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru была выпуклой кверху (книзу) на [а,b], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru ( Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru ) для всех Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru .

Доказательство:

Пусть наша кривая выпукла кверху на [a,b]. Тогда для любых х и h >0 таких, что х, х+2h Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru [a,b], имеет место неравенство Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , откуда Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru .

Если теперь Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru и Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru - произвольные точки интервала (a,b), то, положив h = ( Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru - Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru )/n, будем иметь

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru .

Таким образом, ( Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , и, переходя к пределу при Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , получим неравенство Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , показывающее, что производная Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru на интервале (a,b) не возрастает. Но тогда Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru на (a,b).

Обратно, пусть Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru и Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru . Нам нужно доказать, что функция Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , где Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , удовлетворяет неравенству Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru . Допустим, что это не так. Тогда Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru . Поэтому Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru .

Применяя формулу Тейлора, получим

0= Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru . Но в правой части этой цепочки равенств первый член по предположению отрицательный, а второй неположительный, поэтому правая часть меньше нуля, и мы пришли к противоречию.

Доказательство в случае Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru аналогично.

Теорема доказана.

Билет 23

Правило Лопиталя. Случай 0/0.

Теорема 1:(Неопределенность вида 0/0)

Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru в этой окрестности и Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru в той же окрестности, тогда, если Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , то Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Доказательство:

A – конечное.

Доопределим функции: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x]

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru при Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

f(a)=g(a)=0 =>

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

2) Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Пусть Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Введем функции Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru и Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Теорема доказана.

Замечание: обратное неверно.

Пример: Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Билет 24

Правило Лопиталя. Случай Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru .

Теорема:

Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a и Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru и Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru в некоторой выколотой окрестности точки a, тогда, если

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , то Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru и Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , тогда по определению предела по Гейне

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru и Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Тогда Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru - для f(x) определение предела вида |f(x)|>C, где C = Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru - аналогично для g(x)

Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства:

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Используя термины Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru можно записать:

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru Пояснение: Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , а т.к. Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Найдем теперь предел отношения Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru к Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru :

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru [ можно добавить или отнять Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , предел от этого не изменится ]

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru [ воспользуемся теоремой Коши: Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru или Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru - смотря, что больше]

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru - по определению предела по Гейне.

Мы получили еще не совсем теорему о сходимости последовательности через подпоследовательности, ( ее формулировка: если Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru такова, что из любой её подпоследовательности Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru можно извлечь в свою очередь подпоследовательность Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , сходящуюся к конечному или бесконечному А, то предел Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru =А) мы пока что только из самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не значит, что сама последовательность сходится.

Теперь возьмем произвольную последовательность Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru и её произвольную подпоследовательность Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , тогда по только что доказанному из подпоследовательности Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru мы можем выделить подпоследовательность Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , сходящуюся к Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , т. е. Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Теперь мы взяли произвольную последовательность, поэтому Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru

Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.

Билет 25

Раскрытие неопределенностей вида Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru .

Кроме рассмотренных неопределенностей Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru и Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , встречаются неопределенности вида Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , определение которых очевидно. Эти неопределенности сводятся к неопределенностям Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru или Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru алгебраическими преобразованиями.

1) Неопределенность Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru (Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ruприВыпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru).

Ясно, чтоВыпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ruили Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru .

2) Неопределенности вида Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru для выражения Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru сводятся к неопределенности Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru .

Согласно определению этой функции Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru . Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , то Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru .

3) Неопределенность Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru ( Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru , Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru при Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru )

Легко видеть, что Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие - student2.ru .

Билет 26

Наши рекомендации