Решение системы трех линейных уравнений методами Крамера и Гаусса.

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

Вычислим определитель системы

Как известно, если ¹0, то система (1) имеет решение, и при том единственное. Если =0, то система (1) либо не имеет решений, либо имеет бесчисленное множество решений.

В дальнейшем мы будем предполагать, что ¹0.

1. Решение с помощью формул Крамера.

Если определитель системы ¹0, то, согласно формулам Крамера, решение системы (1) можно представить в виде

Здесь

;	;
	.

Определитель (i=1, 2,…, n) отличается от определителя системы тем, что столбец заменен столбцом из свободных членов, т.е. столбец заменен на столбец .

Пример. Дана расширенная матрица системы . Решить систему методом Крамера.

Решение. Запишем систему в стандартной форме

.

Определитель данной системы

Вычислим определители , и :

.

.

.

Решение системы:

Для того чтобы убедиться в правильности решения, подставим эти значения в исходную систему

.

2. Решение методом Гаусса. Пусть есть система (1) с определителем ¹0. Нашей системе можно сопоставить расширенную матрицу, в которой содержится вся информация о системе

.

Метод Гаусса состоит в том, что система (1) с помощью ряда элементарных преобразований сводится к новой системе, расширенная матрица которой имеет вид

.

Т.е. в результате преобразований все коэффициенты матрицы становятся равными нулю, кроме диагональных элементов, которые становятся равными единице: при и при . Столбец свободных членов превращается в новый столбец .

Если мы привели нашу матрицу к диагональному виду, то решение системы записывается очень просто:

Таким образом, решение системы сводится к совершению элементарных преобразований, в результате которых расширенная матрица (5) превращается в расширенную матрицу (6).

К элементарным преобразованиям системы (1) относятся следующие:

1) перемена местами уравнений (т.е. перемена местами строк расширенной матрицы);

2) умножение или деление любого уравнения системы (1) на число, отличное от 0 (т.е. умножение или деление строки расширенной матрицы на число, отличное от 0);

3) изменение любого уравнения системы (1) путем прибавления к нему другого уравнения системы, умноженного на число, отличное от 0 (т.е. изменение строки расширенной матрицы путем прибавления к ней другой строки, умноженной на число, отличное от 0).

Пример. Найти решение системы методом Гаусса.

.

Решение.Определитель системы . Таким образом, система имеет единственное решение. Найдем его методом Гаусса. Начальная расширенная матрица имеет вид

.

Далее мы будем приводить нашу матрицу к диагональному виду и выписывать ее вид после каждого шага преобразований.

1-й шаг. Разделим 1-ю строку матрицы на 2.

.

2-й шаг. 1-ю строку оставляем без изменения. Вместо 2-й строки записываем следующую ее комбинацию с 1-й: 1-ю строку умножаем на (-5), складываем ее со 2-й строкой, тогда новые числа, стоящие во 2-й строке расширенной матрицы, будут следующие:

Вместо 3-й строки записываем следующую ее комбинацию с 1-й: 1-ю строку умножаем на (-3) и складываем ее с 3-й строкой, тогда

Расширенная матрица примет вид

.

В результате первых 2-х шагов 1-й столбец преобразовался в .

3-й шаг. Делим вторую строку на 11.

.

4-й шаг. 2-ю строку оставляем без изменения. Вместо 1-й строки записываем следующую ее комбинацию со 2-й: 2-ю строку умножаем на 2 и складываем ее с 1-й строкой, тогда

Вместо 3-й строки записываем ее комбинацию со 2-й: 2-ю строку умножаем на (-14) и складываем ее с 3-й строкой, тогда

.

В результате 3-го и 4-го шагов 1-й столбец матрицы не изменился, а 2-й превратился в .

5-й шаг. Делим 3-ю строку на

.

6-й шаг. 3-ю строку оставляем без изменения. Вместо 1-й строки записываем ее комбинацию с 3-й: 3-ю строку умножаем на и складываем ее с 1-й строкой, тогда

Вместо 2-й строки записываем ее комбинацию с 3-й: 3-ю строку умножаем на и складываем ее со 2-й строкой, тогда

.

В результате 5-го и 6-го шагов 3-й столбец принял вид .

Таким образом, решение системы следующее: Проверка

Таким образом, смысл метода Гаусса состоит в том, что сначала 1-й столбец исходной матрицы приводим к виду , затем 2-й - к виду и, наконец, 3-й – к виду . При этом происходит преобразование столбца свободных членов.

Решение методом исключений.Метод исключений является модификацией метода Гаусса и удобен для небольших систем.

.

Умножим первое уравнение на коэффициент при х₁ из второго уравнения, т.е. на 5, а второе на коэффициент при х₁ из второго уравнения, т.е. на 2 и вычтем друг из друга. Потом умножим первое на коэффициент при х₁ из второго уравнения, т.е. на 3, а третье на 5 и снова вычтем

_______________________________ ___________________

Поменяем в первом уравнении знаки и запишем подсистему

Умножим первое уравнение на 28, второе на 22 и сложим. Слагаемые с х₂ сократятся и мы получим уравнение для х₃

х₃ = 4, подставляя х₃ в первое уравнение подсистемы получим х₂

, х₂ = -2,

Подставляя х₂ и х₃ в первое уравнение системы найдем х₁

Объем вычислений при этом методе существенно меньше.

Системы координат

Пример. Найти расстояние между точками М₁(1, -2, -3) и М₂(-3, 1, 1). Определить координаты точки С, делящей отрезок М₁М₂ в отношении 2:3.

Решение.

Используя формулу

М₁М₂ = ,

получим М₁М₂ = .

2. Координаты точки С определим по формуле вида

,

где .

Векторная алгебра

Пример 1. Даны точки М₁(1, -2, -3), М₂(-3, 1, 1). Найти длину вектора .

Решение.Вектор . Следовательно = {-3-1, 1+2, 1+3} ={-4, 3, 4}. Длина вектора находится по формуле ça ç= .

Пример 2.Найти угол φ между векторами и , если М₁(1, -2, -3), М₂(-3, 1, 1), М₃(3, 2, 2).

Решение. Для нахождения cosφ используем формулу

где - скалярное произведение векторов и .

Определим координаты векторов и cosφ:

= (-3-1, 1+2, 1+3) =(-4, 3, 4), = (3-1, 2+2, 2+3) = (2, 4, 5),

,

φ = 87⁰45'54^".

Пример 3. Даны координаты вершин пирамиды А₁(1, -2, -3), А₂(-3, 1, 1), А₃(4, 3, -1), А₄(3, 2, 2). Найти площадь грани А₁ А₂ А₃ и объем пирамиды.

Решение. Площадь треугольника А₁А₂А₃ найдем, используя геометрический смысл векторного произведения векторов

,

где - векторное произведение векторов.

Вначале находим

,

а затем

ед².

Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов

,

следовательно, ед³.