Предел и непрерывность функции
Практически предел функции находят не на основании определения предела функции, а на основании теорем о пределе функции.
Теорема. Если при 
существуют пределы функций 
и 
, то:
1. 
;
2. 
;
3. 
, где 
;
4. 
, где 
- постоянный множитель.
Пример 7.Вычислить 
.
Решение. Так как
, а 
,
то по теореме о пределе частного получаем, что 
.
Но не всегда можно применять теоремы о пределах без предварительного преобразования функций, стоящих под знаком предела. При этом возможны следующие неопределенные ситуации: 
, 
, 
, 
, 
.
Приемом раскрытия неопределенности вида является деление числителя и знаменателя на наивысшую степень x.
При неопределенности вида 
требуется выполнить преобразование функции, выделив в числителе и знаменателе дроби множитель, стремящийся к нулю. Затем сократить дробь на этот общий множитель.
Неопределенности же вида и путем преобразований приводят к одному из рассмотренных случав 
или 
. Поясним сказанное на примерах.
Пример 8. Вычислить 
.
Решение. Наивысшая степень x вторая, делим числитель и знаменатель на 
. Получим
, так как 
и 
.
Пример 9. Вычислить 
.
Решение. Имеет место неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим
.
Пример 10. Вычислить 
.
Решение. Числитель и знаменатель дроби при 
стремятся к нулю. Преобразуем функцию, выделим общий множитель
.
Пример 11. Вычислить 
.
Решение. Так как 
, а 
, то имеет место неопределенность вида 
.
Выполним преобразования
.
Пример 12. Найти точки разрыва функции.
если 
Решение. На интервалах 
, 
и 
функция непрерывна. Проверке подлежат только точки 
и 
.
Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке. Рассмотрим точку . 
.
Рис. 4.
Вычислим односторонние пределы
, 
.
Так как односторонние пределы не совпадают, - точка разрыва функции.
Рассмотрим точку . 
,
, 
,
- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.
- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности (рис. 4).
Производная
Пример 1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:
4. 
Решение.
1. 
2. 
есть сложная функция.
, где 
.
Производная сложной функции имеет вид
или 
.
Следовательно,
.
- сложная функция.
, где 
, а 
,
. 4.
4.
Функция 
от независимой переменной 
задана через посредство вспомогательной переменной (параметра t). Производная от по определяется формулой
.
Находим производные от и по параметру t:
, 
,
.
Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке, где 
.
Решение. Уравнение касательной к кривой в точке 
,
, 
.
Для определения углового коэффициента касательной 
находим производную
,
.
Подставляя значения 
в уравнение, получим
или 
.
Уравнение нормали
,
или 
.
Пример 3. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону 
. Определить скорость и ускорение движения в момент времени 
.
Решение. Найдем скорость 
и ускорение а движения в любой момент времени t
; 
.
При 
, 
.