Теория функций комплексного переменного.

Теория функций комплексного переменного.

Рассмотрим комплексную плоскость. Введем новую точку z = ∞ (бесконечно удаленная точка).

Бесконечно удаленной точкой называется предел любой последовательности комплексных чисел z₁, z₂, …z_n,…, если

z = ∞ → O₁. Множество точек комплексной плоскости, дополненной бесконечно удаленной точкой, называется расширенной комплексной плоскостью.

Областью называется открытое множество точек расширенной комплексной плоскости, ограниченное линиями, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.

Область является открытым множеством, т.е. точки границы не принадлежат этому множеству.

1. Im z > 0. ( z = x + i y , x = Re z, y = Im z) 2. |z| < 1.

y z y

x

x

Не область. Граница области может представлять собой

одну или несколько замкнутых линий.

Число не связанных друг с другом частей, из

Zz которых состоит граница области,

называется порядком связности этой

Области.

.

односвязная трехсвязная

Положительным направлением обхода границы области называется такое направление, когда область остаетсявсе время слева.

Рассмотрим два множества комплексных чисел (Е) и (ε).

v
y (E) (ε)

x u

На множестве (Е) задана функция комплексного переменного W = f(z), если каждой точке z ставится в соответствие одна или несколько точек W .

Положим z = x + iy . Тогда w = f(z) = f(x + iy) = u(x,y) + i v(x,y). Задание функции комплексного переменного f(z) эквивалентно заданию двух функций u(x,y) и v(x,y) действительных аргументов x и у.

Функция w = f(z) определяет отображение множества (Е) на множество (ε).

П р и м е р . W = z². z = ρ(cos φ + i sin φ), w = ρ²(cos 2φ + i sin 2φ)

y v

areg w =2φ₀

arg z = φ₀ (z) (W)

φ₀ 2φ₀

x u

Точки, лежащие на луче arg z = φ₀, перейдут в точки, лежащие на луче arg W = 2φ₀. Функция отобразит полуплоскость 0 < φ < π на плоскости (z) на всю плоскость (W) с выброшенным лучом arg W = 0 (на плоскости (W) с разрезом вдоль положительной действительной оси).

y v

(z) 0 < arg z < 2π

0 < arg z < π

x u

Предел, непрерывность.

Число w₀ = u₀ + i v₀ называется пределом функции f(z), если f(z) = u(x, y) + i v(x,y) и

Функция f(z) называется непрерывной в точке z = z₀, если

Производная и дифференциал.

Рассмотрим функцию w = f(z). Тогда ∆w = f(z + ∆z) – f(z) и

(*) - производная от функции w = f(z).

Предел (*) не зависит от способа стремления ∆z → 0. Если производная существует, то функция называется дифференцируемой в точке z = z₀.

Условия Коши-Римана.

Для того чтобы функция w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y) была дифференцируемой в точке
z = x + i y необходимо и достаточно, чтобы функции u(x,y) и v(x,y) имели непрерывные частные производные и

Из определения предела и производной следует, что основные правила дифференцирования сохраняются для функции комплексного переменного.

(Правила дифференцирования суммы, произведения, частного, сложной функции, z′ = 1).

Определение.

Функция, непрерывная в области (D) и имеющая в каждой точке конечную производную, называется аналитической в этой области.

Требование аналитичности означает не только то, что она не должна иметь точек разрыва, но и то, что при вычислении значений f(z) действия над z должны производиться как над единым комплексным агрегатом без расчленения его на действительную и мнимую части.

Н а п р и м е р , w = z² является аналитической, хотя ее можно представить как

w = x² – y² + 2 i xy , полагая z = x + i y.

В отличие от этого, такие функции как w₁ = x² – i y² или w₂ = = x – i y не являются аналитическими, хотя они являются функциями z (если z = x + i y, то, зная z, можно найти x = Re z , y = Im z и найти соответствующее значение w). Эти функции нельзя свернуть в аналитические выражения относительно z вида w₁(z) и w₂(z).

Функция w = ¹/_z не является аналитической на всей плоскости (z). Эта функция является аналитической в области, полученной путем выбрасывания точки z = 0.

Докажем, что функция w₁ = x² – i y² не является аналитической.

Условия Коши-Римана:

Выражение f′(z) ∆z = dw – дифференциал функции. dz = ∆z и f′(z) dz = dw.

Теорема Коши.

Пусть функция f(z) аналитическая в области (D).

Теорема.

Если функция f(z) аналитическая в замкнутой односвязной области (D), то интеграл по замкнутому контуру, ограничивающему эту область, равен нулю.

Эта теорема распространяется и на многосвязную область.

(L) Сделаем разрезы γ₁ и γ₂. Область стала односвязной.

Следовательно,

(Γ) – контуры (L), (L₁), (L₂) и разрезы (γ₁) и (γ₂)_. Разрезы

проходятся дважды в противоположных направлениях, в

силу чего интегралы по этим разрезам взаимно

Llllll ( γ₁) уничтожаются. Следовательно,

Γ

(L)

Или

(γ₂)

П р и м е р .

2. n > 0, но точка z = a лежит вне контура (L).

(L) ● z = a

3. n > 0, и точка z = a лежит в области, ограниченной контуром (L).

Проведем окружность (С) с центром в точке z = a и радиусом R, не пересекающую (L). Уравнение окружности имеет вид:

|z – a| = R, или z – a = R e^iφ, z = a + Re^iφ.

Функция аналитическая в области

(L) между (L) и (С). Следовательно,

z = a

(C)

Формула Коши.

Пусть функция аналитическая в замкнутой области , (L) – граница этой области, тогда для всех точек z = a, расположенных внутри этой области, имеет место равенство

Следствие. z = a

П р и м е р .

1. |z|=1/2

z = -i

|z|=2

2. z=-i

3.

|z|=i

|z|=1/2 2

1. y |z-2|=3/2

0 x

z=2

Степенные ряды.

a₀, a₁, …,a_n, … - комплексные постоянные, z = x + iy – комплексная переменная.

.

Можно показать, что областью сходимости степенного ряда является круг
|z – a| < R. Внутри этого круга ряд сходится. Вне его, т.е. при |z – a| > R, расходится, a на границе |z – a| = R ряд может сходиться, а может расходиться. R – радиус сходимости ряда.

П р и м е р .

Пусть z – фиксированное число. Составим ряд модулей.

Вне этого круга ряд расходится. В точках окружности |z| = ряд может сходиться, а может расходиться.

Теорема.

Ряд Лорана.

В комплексном анализе имеют дело не только со степенными рядами, но и с двусторонними рядами

Ряд сходится при |t| < R₂′

|z – a| > R₂, R₂ = 1/R₂′ . Следовательно, ряд Лорана сходится в кольце

R₂ < |z – a| < R₁

R₁ Теорема.

z = aСумма ряда Лорана является аналитической

(С) функцией в кольце сходимости R₂ < |z – a| < R₁.

R₂

Найдем коэффициенты ряда Лорана. Рассмотрим

(все слагаемые в правой части обратились в нуль, кроме одного, когда k + 1 – n = 1, т.е. n = k).

Отсюда

Особые точки.

Особыми точками функции f(z) называются точки, в которых нарушается аналитичность функции.

Особая точка z = a называется изолированной, если существует такая окрестность этой точки, в которой она является единственной особой точкой.

Например, f(z) = ¹_/(z-1) , z = 1 – изолированная особая точка.

Если точка z = a является изолированной особой точкой, то существует достаточно малое кольцо R₂ < |z – a| < R₁, в котором функция f(z) аналитическая и разлагается в ряд Лорана.

(*)

При этом могут представиться три случая.

1.Разложение (*) не содержит главной части.

Особая точкаz = a называетсяустранимой особой точкой.

П р и м е р. Показать, что z = 0 – устранимая особая точка функции

В полученном разложении отсутствует главная часть, поэтому точка z = 0 – устранимая особая точка. Если принять, что f(0) = 1, то функция станет аналитической.

2. Разложение содержит конечное число слагаемых в главной части.

Если то точка z = a называетсяполюсомm-го порядка. Если m = 1, то полюс называется простым.

П р и м е р .

. Точки z = 1 и z = i являются особыми точками.

z = 1 – простой полюс, т.к.

z = i – полюс второго порядка. т.к.

1. Разложение в ряд Лорана содержит в главной части бесконечное множество членов. Точка z = a называется существенно особой точкой. В существенно особой точке функция f(z) – неопределенна.

Вычеты функции.

Вычетом функции f(z) в конечной изолированной особой точке z = a называется коэффициент а_-1при ¹/_{(z – a)} в разложенииf(z) в ряд Лорана в окрестности точки
z = a.

Используя формулу коэффициентов ряда Лорана, получим

Здесь (С) – окружность |z – a| = r, принадлежащая кольцу сходимости.

Отсюда, если z = a – правильная или устранимая особая точка, то Res f(a) = 0, т.к. в разложении f(z) отсутствует главная часть.

Теорема Коши о вычетах.

Вычеты имеют важное применение при вычислении интегралов по замкнутому контуру.

Пусть функция f(z) аналитична всюду на

замкнутом контуре (L) и всюду внутри контура

a₁ z = a₁ (L) за исключением конечного числа точек

a₁, a₂,…,a_n, расположенных внутри контура (L).

Тогда

z = a₂

z = a_n

Доказательство.

Вокруг каждой из точек a_k окружность (С_k) так, чтобы эти окружности не пересекали друг друга и не выходили за (L). Тогда по теореме Коши интеграл по внешнему контуру (L) будет равен сумме интегралов по внутренним контурам (C_k).

П р и м е р 1 .

y

(L) – окружность |z – 2| = 3. Внутрь контура попали две

x

-2 особые точки z = 0 и z = 2.

z = 2

z = 0

П р и м е р 2 .( см. предыдущую стр.).

z = i

(С) |z - 2| = 3

z =0

z =-i

Теория функций комплексного переменного.

Рассмотрим комплексную плоскость. Введем новую точку z = ∞ (бесконечно удаленная точка).

Бесконечно удаленной точкой называется предел любой последовательности комплексных чисел z₁, z₂, …z_n,…, если

z = ∞ → O₁. Множество точек комплексной плоскости, дополненной бесконечно удаленной точкой, называется расширенной комплексной плоскостью.

Областью называется открытое множество точек расширенной комплексной плоскости, ограниченное линиями, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.

Область является открытым множеством, т.е. точки границы не принадлежат этому множеству.

1. Im z > 0. ( z = x + i y , x = Re z, y = Im z) 2. |z| < 1.

y z y

x

x

Не область. Граница области может представлять собой

одну или несколько замкнутых линий.

Число не связанных друг с другом частей, из

Zz которых состоит граница области,

называется порядком связности этой

Области.

.

односвязная трехсвязная

Положительным направлением обхода границы области называется такое направление, когда область остаетсявсе время слева.

Рассмотрим два множества комплексных чисел (Е) и (ε).

v
y (E) (ε)

x u

На множестве (Е) задана функция комплексного переменного W = f(z), если каждой точке z ставится в соответствие одна или несколько точек W .

Положим z = x + iy . Тогда w = f(z) = f(x + iy) = u(x,y) + i v(x,y). Задание функции комплексного переменного f(z) эквивалентно заданию двух функций u(x,y) и v(x,y) действительных аргументов x и у.

Функция w = f(z) определяет отображение множества (Е) на множество (ε).

П р и м е р . W = z². z = ρ(cos φ + i sin φ), w = ρ²(cos 2φ + i sin 2φ)

y v

areg w =2φ₀

arg z = φ₀ (z) (W)

φ₀ 2φ₀

x u

Точки, лежащие на луче arg z = φ₀, перейдут в точки, лежащие на луче arg W = 2φ₀. Функция отобразит полуплоскость 0 < φ < π на плоскости (z) на всю плоскость (W) с выброшенным лучом arg W = 0 (на плоскости (W) с разрезом вдоль положительной действительной оси).

y v

(z) 0 < arg z < 2π

0 < arg z < π

x u

Предел, непрерывность.

Число w₀ = u₀ + i v₀ называется пределом функции f(z), если f(z) = u(x, y) + i v(x,y) и

Функция f(z) называется непрерывной в точке z = z₀, если

Производная и дифференциал.

Рассмотрим функцию w = f(z). Тогда ∆w = f(z + ∆z) – f(z) и

(*) - производная от функции w = f(z).

Предел (*) не зависит от способа стремления ∆z → 0. Если производная существует, то функция называется дифференцируемой в точке z = z₀.

Условия Коши-Римана.

Для того чтобы функция w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y) была дифференцируемой в точке
z = x + i y необходимо и достаточно, чтобы функции u(x,y) и v(x,y) имели непрерывные частные производные и

Из определения предела и производной следует, что основные правила дифференцирования сохраняются для функции комплексного переменного.

(Правила дифференцирования суммы, произведения, частного, сложной функции, z′ = 1).

Определение.

Функция, непрерывная в области (D) и имеющая в каждой точке конечную производную, называется аналитической в этой области.

Требование аналитичности означает не только то, что она не должна иметь точек разрыва, но и то, что при вычислении значений f(z) действия над z должны производиться как над единым комплексным агрегатом без расчленения его на действительную и мнимую части.

Н а п р и м е р , w = z² является аналитической, хотя ее можно представить как

w = x² – y² + 2 i xy , полагая z = x + i y.

В отличие от этого, такие функции как w₁ = x² – i y² или w₂ = = x – i y не являются аналитическими, хотя они являются функциями z (если z = x + i y, то, зная z, можно найти x = Re z , y = Im z и найти соответствующее значение w). Эти функции нельзя свернуть в аналитические выражения относительно z вида w₁(z) и w₂(z).

Функция w = ¹/_z не является аналитической на всей плоскости (z). Эта функция является аналитической в области, полученной путем выбрасывания точки z = 0.

Докажем, что функция w₁ = x² – i y² не является аналитической.

Условия Коши-Римана:

Выражение f′(z) ∆z = dw – дифференциал функции. dz = ∆z и f′(z) dz = dw.