Бесконечно большие последовательности
Теоремы о свойствах б.м.п.
· Сумма(разность) двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая (верно для любого числа слагаемых)
· Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая
· Частное от деления бесконечно малой на переменную величину, стремящуюся к пределу, не равному 0, есть бесконечно малая
· Если у - бесконечно большая, то 1/у – бесконечно малая
· Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая последовательность
Бесконечно большие последовательности
Бесконечно большой последовательностью называется величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает.
Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если для сколько угодно большого любого положительного числа А существует номер N, зависящий от этого числа А, такой, что для всех последующий номеров n>N, выполняется неравенство IxnI > А:
Теоремы о величинах, обратных бесконечно большим и бесконечно малым
Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.
Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.
Предел последовательности
Предел последовательности – это число, к которому члены последовательности стремятся при неограниченном возрастании номера n.
аn А при n N
16. Определение предела последовательности на языке «ε» - «N»
Число А – предел последовательности {аn}, если для любого, сколь угодно малого числа ε> 0 найдется такое число N (зависящее от ε),что для всех членов последовательности с номерами n>N будет выполнено неравенство:
Iаn - АI<ε
Свойства последовательностей, имеющих предел
Имеют место следующие арифметические свойства пределов вещественных последовательностей:
1. , где — константа;
2. , если указанные пределы существуют;
3. при том же условии;
4. , если пределы существуют и
Геометрический смысл предела последовательности
Число а – предел последовательности {аn}, если для любой е-окрестности точки а, найдется натуральное число N, что все значения аn, для которых n>N, падут в е-окрестности точки а.
Теорема о единственности предела последовательности
Теорема. Последовательность не может иметь больше одного
предела.
Доказательство. Следует из того, что последовательность не
может одновременно приближаться к двум разным числам
одновременно.
Выберем ε значительно меньше разницы между числами A и B.
Тогда очевидно, что мы не сможем указать такого номера N,
начиная с которого одновременно будут выполнены два
условия:
Iаn - АI <ε иIаn -ВI <ε
Теоремы об арифметических свойствах пределов последовательностей.
Имеют место следующие арифметические свойства пределов вещественных последовательностей:
Замечательный предел типа e
Математики рассматривали последовательность(а эн равное лимит стремящийся к бесконечности (1-1+/n) в степени n) Эта последовательность {an } возрастает и ограничена сверху (доказательство это-
го любознательные студенты могут посмотреть в учебниках математики). Следовательно, существует предел этой последовательности.Его и обозначили через е в честь математика Эйлера (1707-1783).
Предел функции в точке.
Имеется также определение предела функции, при стремлении
аргумента к определенному значению а, называемого пределом функции в
точке. Число A называется пределом функции y = f(x) при x → a, если для любого, даже сколь угодно малого положительного для любого, даже сколь угодно малого ε > 0, найдется такое число δ > 0 (зависящее от ε), что для всех x из δ-окрестности точки a, выполнено неравенство: Это определение называется определением на языке ε и δ,предложено французским математиком Огюстеном Коши и используется с начала XIX века по настоящее время, поскольку обладает необходимой математической строгостью и точностью.
Запишем на языке кванторов определение предела функции в точке:
25. определение предела функции на языке
Производная сложной функции
Бином Ньютона
Свойства дифференциала
Таблица дифференциалов
Формула Ньютона—Лейбница
.
66.
1.Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = f (x), осью абсцисс, и прямыми х = а, х = b.
2. Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то значение определённого интеграла изменится на противоположное
Доказательство.
.
3. Если промежуток интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю
.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
,
гдеС — некоторое число.
Доказательство.
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
,
Это свойство остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.
Доказательство.
6. Если промежуток интегрирования разбит на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по каждой части.
.
Доказательство. Пустьа < с < b и функция f (x) неотрицательна на [a, b]. Согласно геометрическому свойству определенного интеграла , есть площади соответствующих криволинейных трапеций. Тогда при сделанных предположениях имеем равенство между площадями S = S1 + S2.
7Если на отрезке [a, b], где а < b, имеет место неравенство 0 ≤ f (x) ≤ g (x), то
.
Обе части неравенства можно проинтегрировать, при этом смысл неравенства остаётся прежним.
Доказательство. Пусть фиксированы разбиение отрезка [a, b] и выбор точек x1, x2,…, xn на каждом из отрезков разбиения. Тогда из неравенства f (x) ≤ g (x) вытекает аналогичное неравенство для интегральных сумм:
.
Переходя к пределу при max Δ xi → 0, получим рассматриваемое неравенство для интегралов.
Следствие. Пусть на отрезке [a, b] гдеа<b, имеют место неравенства m ≤ f (x) ≤ M, где m и М — некоторые числа. Тогда
67.Теорема о среднем. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], гдеа<b, то найдется такое значение c Î [a, b], что
.
По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения х Î [a, b] вверны неравенства m ≤ f(x) ≤ M, где m и М — наименьшее и наибольшее значения функции на [a, b]. Тогда,
Функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, в частности, найдется такое число с Î [a, b], что
,что и требовалось доказать.
Геометрический смысл теоремы о среднем. Пусть f (x) ≥ 0 на [a, b]. По теореме о среднем найдется такая точка, из отрезка [a, b], что площадь под кривой y = f(x)
на отрезке [a, b] равна площади прямоугольника со сторонами f (с) и (b - а).
68.
69.
Теоремы о свойствах б.м.п.
· Сумма(разность) двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая (верно для любого числа слагаемых)
· Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая
· Частное от деления бесконечно малой на переменную величину, стремящуюся к пределу, не равному 0, есть бесконечно малая
· Если у - бесконечно большая, то 1/у – бесконечно малая
· Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая последовательность
Бесконечно большие последовательности
Бесконечно большой последовательностью называется величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает.
Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если для сколько угодно большого любого положительного числа А существует номер N, зависящий от этого числа А, такой, что для всех последующий номеров n>N, выполняется неравенство IxnI > А: