Производные тригонометрических функций.

А. Производная функции y = sinx выражается формулой Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

В случае сложной функции u = u(х) получим формулу Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

Б.Производная функции y = cosx выражается формулой Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

В случае сложной функции u = u(х) получим формулу Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

В.Производная функции y = tgx выражается формулой Производные тригонометрических функций. - student2.ru , где Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

В случае сложной функции u = u(х) получим формулу Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

Г.Производная функции y = ctgx выражается формулой Производные тригонометрических функций. - student2.ru ,где Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

В случае сложной функции u = u(х) получим формулу Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

Производные обратных тригонометрических функций.

А.Производная функции y = arcsinx, |x|£1, выражается формулой Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

В случае сложной функции u = u(х) получим формулу Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

Б.Производная функции y = arccosx, |x|£1, выражается формулой Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

В случае сложной функции u = u(х) получим формулу Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

В.Производная функции y = arctgx выражается формулой Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

В случае сложной функции u = u(х) получим формулу Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

Г.Производная функции y = arcctgx выражается формулой Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

В случае сложной функции u = u(х) получим формулу Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

Пример. Вычислить производные функций:

1) Производные тригонометрических функций. - student2.ru ; 2) Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

Решение

1) Производные тригонометрических функций. - student2.ru

Производную сложной функции вычисляем по формуле Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

Получим Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

2) Производные тригонометрических функций. - student2.ru

Сначала используем формулу для производной степенной функции Производные тригонометрических функций. - student2.ru , где Производные тригонометрических функций. - student2.ru .

Получим

Производные тригонометрических функций. - student2.ru

Вопрос 4. Производные высших порядков

Производная у′ = f′(х) функции у = f(х) есть так же функция от х и называется производной первого порядкаили первой производной. Возможно, что эта функция сама имеет производную.

О.4.1. Производная от первой производной функции у = f(х) называется производной второго порядка или второй производнойданной функции и обозначается одним из символов

Производные тригонометрических функций. - student2.ru

Таким образом Производные тригонометрических функций. - student2.ru

О.4.2. Производная от второй производной функции у = f(х) называется производной третьего порядка или третьей производнойданной функции и обозначается одним из символов Производные тригонометрических функций. - student2.ru

Таким образом Производные тригонометрических функций. - student2.ru

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

О.4.3. Производная от (n‒1)-й производной функции у = f(х) называется производной n-го порядка или n-й производнойданной функции и обозначается одним из символов

Производные тригонометрических функций. - student2.ru

Таким образом Производные тригонометрических функций. - student2.ru

Начиная с производной 4-го порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках.

Пример. уV или у(5) - производная 5-го порядка.

Для некоторых элементарных функций можно вывести формулы нахождения производных любого порядка.

Пример. Найти производную n-го порядка функции у = ах.

Решение

Производные тригонометрических функций. - student2.ru Производные тригонометрических функций. - student2.ru Производные тригонометрических функций. - student2.ru ….., Производные тригонометрических функций. - student2.ru

Механический (физический) смысл второй производной

Производные второго и вообще высших порядков оказываются необходимыми для определения важных понятий математики, механики, физики, а так же для более полного исследования функций.

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S = S(t). Известно, что ʋ = S′(t) - скорость точки в данный момент времени t.

Можно показать, что вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т.е.

Производные тригонометрических функций. - student2.ru

Наши рекомендации