Производные тригонометрических функций.
А. Производная функции y = sinx выражается формулой .
В случае сложной функции u = u(х) получим формулу .
Б.Производная функции y = cosx выражается формулой .
В случае сложной функции u = u(х) получим формулу .
В.Производная функции y = tgx выражается формулой , где .
В случае сложной функции u = u(х) получим формулу .
Г.Производная функции y = ctgx выражается формулой ,где .
В случае сложной функции u = u(х) получим формулу .
Производные обратных тригонометрических функций.
А.Производная функции y = arcsinx, |x|£1, выражается формулой .
В случае сложной функции u = u(х) получим формулу .
Б.Производная функции y = arccosx, |x|£1, выражается формулой .
В случае сложной функции u = u(х) получим формулу .
В.Производная функции y = arctgx выражается формулой .
В случае сложной функции u = u(х) получим формулу .
Г.Производная функции y = arcctgx выражается формулой .
В случае сложной функции u = u(х) получим формулу .
Пример. Вычислить производные функций:
1) ; 2) .
Решение
1)
Производную сложной функции вычисляем по формуле .
Получим .
2)
Сначала используем формулу для производной степенной функции , где .
Получим
Вопрос 4. Производные высших порядков
Производная у′ = f′(х) функции у = f(х) есть так же функция от х и называется производной первого порядкаили первой производной. Возможно, что эта функция сама имеет производную.
О.4.1. Производная от первой производной функции у = f(х) называется производной второго порядка или второй производнойданной функции и обозначается одним из символов
Таким образом
О.4.2. Производная от второй производной функции у = f(х) называется производной третьего порядка или третьей производнойданной функции и обозначается одним из символов
Таким образом
Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.
О.4.3. Производная от (n‒1)-й производной функции у = f(х) называется производной n-го порядка или n-й производнойданной функции и обозначается одним из символов
Таким образом
Начиная с производной 4-го порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках.
Пример. уV или у(5) - производная 5-го порядка.
Для некоторых элементарных функций можно вывести формулы нахождения производных любого порядка.
Пример. Найти производную n-го порядка функции у = ах.
Решение
…..,
Механический (физический) смысл второй производной
Производные второго и вообще высших порядков оказываются необходимыми для определения важных понятий математики, механики, физики, а так же для более полного исследования функций.
Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S = S(t). Известно, что ʋ = S′(t) - скорость точки в данный момент времени t.
Можно показать, что вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т.е.