Квадратурные формулы Гаусса и Ньютона-Котеса
Формулы для вычисленитя интегралов называют квадратурными формулами. Квадратурные формулы Гаусса и Ньютона-Котеса являются формулами интерполяционного типа. Эти формулы выводятся путем замены подинтегральной функции интерполяционным многочленом Лагранжа и интегрирования этого многочлена. При этом часто в подинтегральном выражении предварительно выделяют положительный сомножитель – весовую функцию – учитывающий особенности подинтегральной функции. Формулы могут быть представлены в виде:
(1)
Здесь r(x)³0 – весовая функция, а коэффициенты определяются формулой:
, (2)
где
Цель введения весовой функции состоит в повышении точности квадратурной формулы путем учета особенностей подинтегральной функции. Например, при вычислении интеграла
,
где f(x) - гладкая функция, не равная нулю в точке x=0, целесообразно выделить в качестве весовой функцию ; тогда коэффициенты C определяются по формуле (2) с учетом особенности подинтегральной функции в начальной точке отрезка интегрирования. Если подинтегральная функция не имеет особенностей, то следует положить r(x) º1.
Формулы Ньютона-Котеса строятся на равномерной сетке узлов:
Различают формулы замкнутого типа, если и , и формулы разомкнутого типа, если хотя бы один из концевых узлов не совпадает с соответствующей граничной точкой отрезка интегрирования. Формулы Ньютона-Котеса, построенные для n узлов, точны для любого многочлена степени меньше n. Подставив в формулу (1) многочлен нулевой степени f(x)º1, получим условие нормировки коэффициентов:
. (3)
Квадратурные формулы Гаусса, или квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности строятся для неравномерной сетки узлов. Узлы интерполяции xk и коэффициенты выбираются так, чтобы формулы были точны для любого алгебраического многочлена степени m £ 2·n–1. Это означает, что , удовлетворяет системе уравнений:
(4)
Решение системы (4) дает один из способов нахождения параметров формулы Гаусса. Отметим, что первое из уравнений системы совпадает с условием нормировки коэффициентов (3).
Обозначим через многочлен, корнями которого являются узлы интерполяции:
(5)
Для формулы Гаусса справедливо следующее утверждение: многочлен ортогонален с весом r(x) любому многочлену q(x) степени меньше n, т.е.
; (6)
Условие ортогональности (6) эквивалентно требованиям:
(7)
которые представляют собой систему уравнений относительно неизвестныx
Отсюда следует второй способ нахождения параметров формулы Гаусса: положение узлов интерполяции определяется из системы (7), а коэффициенты вычисляются по формуле (2), либо путем решения системы (4), в которой в данном случае достаточно оставить только n уравнений.
Если весовая функция четна относительно середины отрезка интегрирования, то есть
r[(a + b)/2 – y] = r[(a + b)/2 + y] при 0 £ y £ (b – a)/2, или, иначе,
r[x] = r[a + b – x] при a £ x £ b,
то формула Гаусса является симметричной: узлы формулы расположены симметрично относительно центра отрезка, а коэффициенты попарно равны:
(a + b)/2 – = – (a + b)/2 или = a + b – , = , k = 1, . . ,m,
где m есть целая часть частного n/2. Если число узлов – нечетно: то = (a + b)/2, а коэффициент может быть определен из условия нормировки
.
Таким образом, при наличии четной весовой функции количество уравнений в системах (4) и (7) может быть уменьшено не менее чем в два раза.
Произвольный отрезок интегрирования [a, b] можно привести к стандартному отрезку [-1, 1] линейным преобразованием:
t = -1 + (x – a)·2/(b – a), x = a + (t + 1)(b – a)/2
Если a= -1, b=1, то для симметричных формул имеем:
,
Напомним, что интеграл в симметричных пределах от нечетной функции равен нулю. Так, например,
независимо от значений , k = 1, . . ,m. Поэтому в случае симметричного отрезка интегрирования для нахождения узлов формулы Гаусса следует использовать только те из уравнений (7), в которых подинтегральная функция является четной функцией x.
Из условия ортогональности (6) следует, что многочлены , описывающие узлы формулы Гаусса, образуют ортогональную систему:
, n ¹ m.
Для ряда весовых функций известны соответствующие ортогональные системы многочленов и формулы, позволяющие непосредственно вычислять положение узлов и коэффициенты формулы Гаусса.
Рассмотрим типичные примеры.
1. r(x) º 1, a = -1, b = 1. В этом случае узлы формулы Гаусса совпадают с корнями многочлена Лежандра :
, , .
Для многочленов Лежандра существует рекуррентная формула:
.
Значения коэффициентов можно определить по формуле:
2. r(x) = 1/ , a = -1, b = 1. Узлы квадратурной формулы Гаусса совпадают с корнями многочленов Чебышева первого рода T(x) и весовые коэффициенты для всех узлов одинаковы:
= Cos(n·arcCos(x)), = Cos[(2k-1)p/(2n)], = p/n, k = 1, . . ,n.
3. r(x) = , a = -1, b = 1. Узлы квадратурной формулы Гаусса совпадают с корнями многочленов Чебышева второго рода:
= Sin[(n+1)·arcCos(x)]/Sin[arcCos(x)],
Узлы многочленов расположены в точках
= Cos[k·p/(n+1)], k = 1, . . ,n
Например, при n=3:
Вообще для данной весовой функции условие нормировки коэффициентов формулы Гаусса имеет вид:
4. r(x) = exp( ), a = –¥, b = ¥. Узлы квадратурной формулы Гаусса совпадают с корнями многочленов Эрмита:
= 1,
или
Весовые коэффициенты могут быть вычислены по формулам:
.
5. r(x) = ·exp( ), a = 0, b = ¥. Узлы квадратурной формулы Гаусса совпадают с корнями многочленов Лагерра:
.
Весовые коэффициенты могут быть вычислены по формулам:
6. r(x) = a = –1, b = 1. Узлы формулы Гаусса совпадают с корнями многочленов Якоби:
.
В частном случае, при a, b = -1/2, r(x) = первые три многочлена Якоби имеют вид:
Формула Ньютона-Котеса замкнутого типа при n=3 и r(x)º1:
h = b – a, –
называется простой формулой Симпсона. Для повышения точности расчетов отрезок интегрирования часто разбивают на несколько подотрезков. Пусть отрезок [a, b] разбит на m частей так, что , , i=0,..,m-1 и . Формула
называется составной формулой Симпсона. Для подинтегральной функции, имеющей непрерывную четвертую производную, формула Симпсона имеет четвертый порядок точности; главный член погрешности определяется соотношением:
Если подинтегральная функция имеет какие-либо особенности, то порядок точности квадратурной формулы снижается. Так, для формулы Симпсона эффективный порядок может быть менее четырех. В подобных случаях для повышения точности расчетов и для определения значения эффективного порядка выбранной квадратурной формулы используют процесс Эйткена. Для этого проводят расчеты с различным шагом h (или, иначе, с делением исходного отрезка [a, b] на разное число частей). Обозначим: – результат расчетов при использовании шага , k=1;2;3, q – целое число (например, q=2). Уточненное значение интеграла определяется по формуле:
.
Эффективный порядок квадратурной формулы оценивается соотношением
.