Квадратурные формулы Гаусса

Пусть отрезок интегрирования Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru непрерывной функции f(x) разбит на n равных частей точками Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru . Шаг разбиения Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru . Пусть Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru - функция аппроксимирующая подынтегральная функцию f(x).

На каждом из интервалов Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru расположено m узлов Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru , в которых Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru . Пусть Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru - многочлен степени р, такой что Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

а) Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru ; Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru ;

б) Определенный интеграл от функции Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru на отрезке Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru выражается через значение подынтегральной функции Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru в узлах в виде их линейной комбинации т.е.

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru (1)

Так чтобы для выбранной степени р сплайна построить квадратурные формулы Гаусса , необходимо найти из условий а) и б) 2m неизвестных:

m неизвестных коэффициентов Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

m координат узлов Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru ( Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru )

Будем решать задачу одновременно для всех участков Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru . Для этого введем новую переменную t, общую для всех интервалов.

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Тогда: Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru , и Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

И при Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru т.о. Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Положим:

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Тогда:

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

и (1) примет вид:

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru (2)

Теперь рассмотрим квадратную формулу Гаусса с тремя узлами (m=3). При этом необходимо определить шесть величин: Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Функция Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru -многочлен степени р.

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru (3)

Подставим (3) в (2). Учитывая, что Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru получим тождество относительно коэффициентов Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

В общем случае степень аппроксимирующего полинома равна: p=2m-1, где m-число узлов.

Для трех узлов имеем р=5, т.е. многочлен пятой степени. Коэффициенты при Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru вычисляем из левой части (4)

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru (5)

Приравнивая коэффициенты при Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru в правой и левых частях и учитывая (5), получим шесть уравнений:

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru (6)

Решение системы (6) – нелинейной системы найти очень сложно!

Однако оказывается, что неизвестное Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru в уравнениях (6) совпадают с нулями многочлена Лежандра:

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru (7)

Нули многочлена (7) принадлежат интервалу Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru и расположены симметрично середины интервала.

В нашем случае m=3: Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

т.о. Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Корни (нули) уравнения Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru находим из:

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Т.о. найдены значения Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru системы (6)

Значения Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru находим, подставляя Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru в (6)

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Решение системы:

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Подставим найденные значения в (1):

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru находим из Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru находим с учетом соотношения:

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Т.о. Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Для Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru получаем: Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Т.о.

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Итак, квадратичная формула Гаусса с тремя узлами имеет вид:

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Где Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Если Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru имеет непрерывность производной до шестого прядка, то для оценки погрешности формулы Гаусса с тремя узлами можно использовать неравенство:

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

При вычислении интеграла до достижения заданной точки Е методом двойного перечета,

условие окончаний вычисления имеет вид:

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Где k=2m, m-число узлов.

При этом полагают, что

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru с точностью Е

Пример: Найти приближенное значение интеграла Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru по квадратной формуле Гаусса с тремя узлами для n=1, т.е. без разбиения отрезка Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru на части (n=1)

Оценить погрешность вычислений.

Решение. Ищем:

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

R(h) Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

а ≤ х ≤ в

С погрешностью не больше чем 0,0019<0,002 имеем

Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru

Здесь х2 = 0,5; f(x2) = 1.284025

x1 = x2 - Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru f(x1) = 1.012783

x3 = x2 - Квадратурные формулы Гаусса - student2.ru f(x1) = 2.19745

Для достижения точности того же порядка с использованием: формулы Симпсона n=2 (ε=0,0045)

формулы прямоугольников n=10 (0,0068)

ЛЕКЦИЯ 14

Наши рекомендации