Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия
Пусть консервативная механическая система имеет положение равновесия, т.е. положение, в котором она остается бесконечно долго, если она имела в этом положении нулевые обобщенные скорости. Пусть значения обобщенных координат в положении равновесия равны нулю. Пусть также значение потенциальной энергии в этом положении равно нулю:
.
Положение равновесия называется устойчивым, если 
такое, что из условий 
следует
при 
, 
.
Теорема: если в некотором положении равновесия консервативной системы потенциальная энергия имеет строгий минимум, то это положение равновесия является устойчивым.
Доказательство теоремы предполагает «конструирование» величины 
по заданной величине 
. Идея доказательства для случая одной переменной изображена на рис. 17.
Если помимо потенциальных и гироскопических сил действуют еще и диссипативные силы, имеющие строго отрицательную мощность, то изолированное положение равновесия является асимптотически устойчивым: 
при 
.
Предложение. Определение устойчивого положения равновесия сформулировано для безразмерных обобщенных координат и безразмерного времени. Рассмотрите случай размерных величин. Введите масштабные коэффициенты и попробуйте сформулировать вновь это определение.
Рис. 17. Потенциальная энергия системы с одной степенью свободы
4.4.2. Малые колебания консервативной системы вблизи положения устойчивого равновесия
Пусть в положении устойчивого равновесия 
, т.е. 
и пусть 
.
Рассмотрим движение консервативной системы вблизи положения равновесия. Разложим функцию 
в окрестности точки равновесия в ряд Маклорена:
По условию 
; кроме того, согласно принципу виртуальных перемещений в положении равновесия обобщенные силы
.
Отбрасывая члены третьего и высших порядков малости относительно 
и обозначая 
, получим
.
Пусть связи стационарны. Разложим в выражении 
коэффициенты 
также в ряды:
С точностью до малых второго порядка включительно имеем:
.
Таким образом, кинетическая энергия и потенциальная энергия представлены как соответствующие положительно определенные квадратичные формы обобщенных скоростей и координат. Уравнения Лагранжа-2 приобретают вид следующей линейной системы:
.
Будем искать решение этой системы в следующем виде:
.
Подставив в систему дифференциальных уравнений эти формулы и приравняв коэффициенты при 
, получим систему однородных линейных уравнений относительно амплитуд 
:
, 
.
Нетривиальное решение последняя система имеет при условии равенства нулю ее определителя, т.е.
.
Данное уравнение называется частотным уравнением, или вековым (secular). Оно является уравнением 
- той степени относительно 
. Благодаря симметричности и положительной определенности матрицы 
квазиинерционных коэффициентов и симметричности матрицы 
квазиупругих коэффициентов все корни 
векового уравнения являются неотрицательными. Каждому корню соответствует своя система однородных линейных уравнений относительно амплитуд 
. Так как определитель системы равен нулю, существует бесконечно много ее решений. Если положить, например,
, то остальные амплитуды 
выражаются из системы уже однозначно и представляют собой отношения соответствующих амплитуд к первой амплитуде. Совокупность этих отношений называется формой колебаний, соответствующей частоте 
. Отношения амплитуд называют также коэффициентами форм.
Квадратичные формы и можно одним и тем же неособенным преобразованием переменных 
(«неособенное» означает 
) привести обе к диагональному виду, и тогда дифференциальные уравнения движения будут иметь вид
, 
.
Новые обобщенные координаты 
называются нормальными координатами колебательной системы.
Заключение
В конспекте освещены лишь самые простые вопросы механики, которые составляют, так сказать, азбуку инженера. Классическая механика – хорошо разработанная область знаний, и она обычно излагается дедуктивно. За каждым теоретическим предложением - долгая история проблемы, практика инженерных расчетов и эксплуатации созданных по этим расчетам машин и разных устройств.
Изучение теоретической механики – одна из начальных ступеней непрерывного образования, которым каждый уважающий себя специалист занимается всю жизнь
Список литературы
1. Яблонский А. А.Курс теоретической механики: учебник длястудентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим специальностям. - 15-е изд., стер. – М.: КноРус, 2010 . - 603 с.
2.Тарг С. М.Краткий курс теоретической механики : учебникдля студентов высших технических учебныхзаведений. - Изд. 20-е, стер. – М.: Высшая школа, 2010. - 415 с.
3. Курс теоретической механики: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по техническим специальностям в 2 т. /Бутенин Н.В. и др. - Изд. 10-е, стер. – Санкт-Петербург: Лань, 2008. - 729 с.: ил. Т. 1: Статика и кинематика; Т. 2: Динамика.
4. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике : учебное пособие для вузов. - Изд. 3-е, стер. - М.: Физматлит, 2005. - 262 с.
5. Лойцянский Л.Г.Курс теоретической механики: учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям 010500 "Механика": [в 2 т.] / Лойцянский Л. Г., Лурье А. И.- Изд. 9-е, испр. и доп. – М.: Дрофа, 2006. - Т. 1: Статика и кинематика. - 2006. - 447 с. Т. 2: Динамика. - 2006. - 719 с.
6. Поляхов Н.Н. Теоретическая механика: учебник для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям "Математика" и "Механика" [Федер. целевая программа книгопечатания России] / Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П.; под ред. проф. Товстика П.Е. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2000. - 591 c.
7. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учеб. для студентов машиностроит. и приборостроит. специальностей вузов. - 6-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2003. - 718 с.
8. Бать М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах, ч.1, 2, 3. / Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А.С. - М.: Физматгиз, 1995.
* * *
Quantus tremor est futurus.
Judex ergo cum sedebit.
Quando judex est venturus,
Quidquid latet, apparebit.
Cuncta stricte discussurus.
Nil inultum remanebit!
(“Dies irae”)