Теорема Лагранжа и Коши о дифференцируемых функциях

Ответ:

Теорема Лагранжа.

(Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка e

a < e < b, такая, что .

Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Отношение равно угловому коэффициенту секущей АВ.

у

В

А

0 а e b x

Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.

Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию

F(x) = f(x) – y_{сек АВ}

Уравнение секущей АВ можно записать в виде:

Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка e, a < e < b, такая что F¢(e) = 0.

Т.к. , то , следовательно

Теорема доказана.

Определение. Выражение называется формулой

Лагранжаили формулой конечных приращений.

В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем.

Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:

,

где 0 < q < 1, Dx = b – a, Dy = f(b) – f(a).

Теорема Коши.

( Коши (1789-1857)- французский математик)

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

.

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e.

Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это - очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

,

которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка e,

a < e < b, такая, что F¢(e) = 0. Т.к.

, то

А т.к. , то

Теорема доказана.