Теорема Лагранжа (1736-1813)

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма (1601-1665гг)

Теорема 14.1. Пусть функция Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru определена на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru и во внутренней точке с этого отрезка принимает наибольшее и наименьшее значение. Тогда, если Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru существует производная Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru , то она равна 0, т.е. Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru .

Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru

Доказательство:

Докажем для случая, когда функция принимает в точке с наибольшее значение, т.е. Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru

Пусть Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru определена на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru и во внутренней точке с этого отрезка принимает наибольшее значение: Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru В точке с существует производная Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru Требуется доказать, что Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru

Дадим точке с приращение Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru так как Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru не вышла за пределы Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru запишем Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru в точке с, функция принимает наибольшее значение, то Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru

1) Предположим, что Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru т.е. Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru то будем иметь:

Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru

Переходя к пределу: Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru

2) Предположим, что Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru т.е. Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru то будем иметь:

Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru Переходя к пределу:

Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru

Из двух неравенств Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru следует, что Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru .

Аналогично, когда в точке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru , функция достигает своего наименьшего значения. Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма

Вспомним геометрический смысл производной в точке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru : Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru - угловой коэффициент касательной в точке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru , а если Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru , то касательная параллельна оси Ох.

Теорема М. Ролля (1652-1719)

Теорема 14.2. Если функция Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru непрерывна на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru , дифференцируема на интервале Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru и на концах интервала Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru принимает равные значения Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru , то между точками Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru найдется, по крайней мере, одна точка Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru : Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru .

Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru Доказательство:

Пусть для функции Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru условия теоремы выполняются. Т.к. Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru непрерывна на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru по теореме 2 Вейерштрасса она принимает на этом отрезке свои наибольшие и наименьшие значения: М и т.

Рассмотрим два случая:

1) Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru По определению наибольшего и наименьшего значения Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru из отрезка Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru выполняется неравенство: Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru а производная от Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru

2) Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru Оба эти значения функция достигает на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru и так как по условию теоремы Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru то оба эти значения Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru не могут достигаться одновременно на концах Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru . Значит, одно из этих значений достигается внутри интервала Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru , то есть в точке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru . В таком случае, мы находимся в условии теоремы Ферма, на основании которой Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ролля

Если Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru , то Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru - есть угловой коэффициент касательной и Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru , следовательно, касательная параллельна Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru . Смысл в том, что найдется такая точка Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru , в которой касательная к ней параллельна оси Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru .

Теорема Лагранжа (1736-1813)

Теорема 14.3. Если функция непрерывна на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru и дифференцируемая на промежутке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru , то между точками Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru и Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru найдется, такая точка Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru , что имеет место равенство:

Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru .

Доказательство:

Пусть Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru - непрерывна на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru и дифференцируема на промежутке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru Рассмотрим вспомогательную функцию Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru , где

Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru - удовлетворяет условию теоремы Ролля на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru . В самом деле, она непрерывна на отрезке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru , как алгебраическая сумма непрерывных функций, следовательно, она дифференцируема на промежутке Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru Ее производная равна:

Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru достигается непосредственным вычислением. На основании теоремы Ролля между точками Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru существует такая точка с, что Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru

Но Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru

Отсюда, Теорема Лагранжа (1736-1813) - student2.ru . Теорема доказана.

Наши рекомендации