Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции.

Содержание программы

4.1. Понятие предела последовательности и его свойства.

4.2. Неопределенности. Вычисление пределов последовательностей. Формула числа е.

4.3. предел функции в точке и на бесконечности(по Гейне), его свойства.

4.4. Вычисление пределов.

4.5. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции, их свойства.

4.6. Неопределенности. Первый и второй замечательные пределы.

4.7. Непрерывность функции в точке.

Содержание темы

Число а называют пределом числовой последовательности {x_n}, если .

Обозначается .

Число А называется пределом функции f(x) в точке х₀, если такое, что . Обозначается .

Свойства пределов:

Если существуют конечные пределы и , то

1) ,

2) ,

3) , если ,

4) ,

5) .

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда подстановка предельного значения аргумента в выражение для f(x) приводит к одной из неопределенностей∞⁰, ∞ - ∞, 0 ^. ∞, ∞/∞, 0/0, 0⁰, 1^∞.

Чтобы раскрыть неопределенность вида 0/0, необходимо провести преобразования функции и сократить числитель и знаменатель дроби на выражение (х – х₀).

Чтобы раскрыть неопределенность вида ∞/∞, необходимо числитель и знаменатель дроби сократить на аргумент в большей степени.

Чтобы раскрыть неопределенности вида ∞⁰, 0 ^. ∞ и др., необходимо первоначально привести их к виду 0/0 или ∞/∞.

Первый замечательный предел

И второй замечательный предел .

Пример 4.1. Вычислить пределы:

а) , б) ,

в) , г) д) .

Решение

а)

б)

в)

г)

д) =

Функция непрерывна в точке , если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению , или:

1) функция определена в точке и некоторой ее окрестности;

2) существует ;

3) .

Точка , в которой функция не обладает свойством непрерывности, называется точкой разрыва функции .

Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует, но функция не определена в точке или нарушено условие .

Точка называется точкой разрыва I рода, если не существует, но при этом существуют конечные односторонние пределы и , неравные друг другу.

Точка называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов , не существует или равен бесконечности.

Пример 4.2. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер разрыва.

Функция не определена в точках , уже нарушено первое условие непрерывности, следовательно, в этих точках функция испытывает разрыв.

Для выяснения характера разрыва нужно вычислить односторонние пределы в точках .

.

.

Так как левый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.

;

.

Так как правый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.

Пример 4.3. .

Функция неопределена в нуле, следовательно , – точка разрыва.

Так как и , то это устранимый разрыв, функцию можно в нуле доопределить “по непрерывности”, положив равной единице.

Контрольные вопросы

1. Что называют пределом числовой последовательности?

2. Что называют пределом функции в точке?

2. Какие вы знаете правила вычисления пределов?

3. Что представляют собой первый и второй замечательные пределы?

4. Как раскрывают неопределенность вида 0/0?

5. Как раскрывают неопределенность вида ∞/∞?

6. Как раскрывают неопределенности вида ∞⁰, 0 ^. ∞ и др.?

7. Что называется пределом последовательности?

8. Что называется пределом функции в точке?

9. Что называется левосторонним пределом функции в данной точке?

10. Что называется правосторонним пределом функции в данной точке?

11. Какая функция называется непрерывной в точка?

12. Какая функция называется непрерывной на отрезке?

13. Какая функция называется непрерывной?

14. Что называется точкой разрыва функции?

15. Какие бывают точки разрыва функции?

Тема 5. Дифференциальное исчисление функции одной и многих переменных

Содержание программы

5.1. Приращение аргумента и приращение функции. Понятие производной функции.

5.2. Физический и геометрический смысл производной.

5.3. Основные правила дифференцирования. Таблица производных. Нахождение производных по таблице и правилам дифференцирования.

5.4. Производная сложной функции.

5.5. Уравнение касательной е графику функции.

5.6. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке.

5.7. Правило Лопиталя.

5.8. Дифференциал первого порядка.

5.9. Производные высших порядков.

5.10. Монотонность и локальный экстремум функции.

5.11. Выпуклость, вогнутость и перегиб графика функции.

5.12. Понятие функции многих переменных.

5.13.Частные производные первого порядка функции многих переменных и дифференциал функции многих переменных.

5.14. Частные производные высших порядков.

Содержание темы

Производной функции у = f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т. е.

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Правила дифференцирования:

Пусть С – постоянная, а u (x) и v (x) - дифференцируемые функции.

1. С ^/ = 0.

2. (u + v) ^/ = u ^/ + v ^/.

3. (uv) ^/ = u ^/ v+ v ^/u.

4. (Cu) ^/ = Cu ^/.

5. , v 0.

Геометрический смысл производной: производная функции f (х) в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой х₀.

Физический смысл производной:мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t:

v(t) = s ^/(t) =

Если у = g(и) , и = и(х) – функции своих аргументов, причем область определения функции g(u) содержит область значений u(x), то каждому х области определения функции u соответствует у такое, что у = g(и), и=и(х). Эта функция, определяемая соответствием

у = g(u(x)),

называется функцией от функции или сложной функцией (композицией функций).

Производная сложной функции у = g(u(x)). Если функция и = и(х) дифференцируема в точке х, а функция у = g(и) дифференцируема в соответствующей точке и = и(х), то сложная функция у = g(u(x)) дифференцируема в точке х и ее производная у^/(x )= g^/(x) ^. u ^/ (x).

Таблица производных

1. (хⁿ) ^/ = nx^n-1, 8. (log_a x)^/ = 1/xlnx,

2. (a^x) ^/ = a^x ln a, 9. (ln x)^/ = 1/x,

3. (e^x) ^/ = e^x, 10. (arctg x)^/ = 1/ (1 + x²),

4. (sin x) ^/ = cos x, 11. (arcctg x)^/ = - 1/ (1 + x²),

5. (cos x) ^/ = - sin x, 12. (arcsin x)^/ = 1/ ,

6. (tg x) ^/ = 1/cos² x,

7. (ctg x) ^/ = - 1/sin² x, 13. (arccos x)^/ = - 1/ .

Пример 5.1. Найти производную функции:

а) у = е^х (х² – 2х + 7),

б) у = sin (2x + 3),

в) у = (х³ + 3х² – 1)¹³.

Решение

а) найдем производную данной функции, воспользовавшись формулой производной произведения двух функций:

у ^/ = (е^х)^/ (х² – 2х + 7) + е^х (х² – 2х + 7)^/ = е^х (х² – 2х + 7) + е^х (2х – 2) = е^х (х² – 2х + + 7 + 2х – 2) = е^х (х² + 5),

б) найдем производную сложной функции:

у ^/ = (sin (2x + 3))^/ = cos (2x + 3) ^. (2x+ 3)^/ = 2cos (2x + 3),

в) у^/ = ((х³ + 3х² – 1)¹³)^/ = 13(х³ + 3х² – 1)¹² (х³ + 3х² – 1)^/ = 13(х³ + 3х²– 1)¹² (3х²+ 6х)

Функция у = f (x) на некотором интервале задана неявно уравнением F (x; y) = 0, если для всех х из этого интервала

F (x, f(x)) = 0.

Для нахождения производной функции, заданной неявно, следует тождество F (x, f(x)) = 0 продифференцировать по х, рассматривая левую часть как сложную функцию от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно f ^/(x).

Пример 5.2.Найти производную функции у = f (x) , заданной неявно

уравнением x² – 2x²y² + 5x + y – 5 = 0.

Решение Дифференцируя по х обе части тождества, получим

2х – (4ху² + 2х²2уу^/) + 5 + y^/ = 0,

2х – 4ху² - 4х²уу^/ + 5 + y^/ = 0,

y^/ (1 – 4x²y) = 4xy² – 2x – 5,

.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

, где -производная при .

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.