Вычисление определенного интеграла методом подстановки.

Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:

1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2) найти новые пределы определенного интеграла;

3) найти дифференциал от обеих частей замены;

4) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

5) вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 18.Вычислить интеграл .

Решение. Введем подстановку , тогда , . Определим пределы интегрирования для переменной t. При x=0 получаем , при x=7 получаем .

Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

.

Пример 19.Вычислить интеграл .

Решение. Произведем подстановку , тогда , . Определим пределы интегрирования для переменной t. При x=1 получаем , при x=2 получаем .

Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

.

Пример 20.Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда и . Определим пределы интегрирования для переменной t: , .

Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

Пример 21.Вычислить интеграл .

Решение. Пусть , , , .

Пример 22.Вычислить интеграл .

Решение. Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

.

Затем вычислим интеграл от разности функций, заменив его разностью определенных интегралов от каждой функции:

.

Вычислим каждый интеграл отдельно:

;

Пусть , , , , .

.

Тогда

Интегрирование по частям.

Здесь используют формулу:

Пример 23.Вычислите интеграл:

Пример 24.Вычислите интеграл:

Приложение определенного интеграла.

Понятие определенного интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Площади плоских фигур.

1. Фигура ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [a;b] функции f(x), осью Ох и прямыми х = а, х = b. Площадь данной фигуры находится по S = (1)

Пример 25: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями . Решение: Построим графики данных функций: а) - кв. ф., график – парабола, ветви направленны вверх. Вершина находится в точке с координатами (0; 1).

Находим доп. точки, для этого строим таблицу:

Х	±1	±2	±3
у	1,5		5,5

б) у = 0 – ось Ох

в) х = - 2, х = 3 – прямые, У у =

параллельные оси Оу

Х = - 2 1 х = 3

0 Х

- 2 1 3

S =

Пример 26: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y = - x² – 1, y = 0, x = - 1, x = 2.

Решение: Построим графики данных функций: а) у = - х² – 1 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вниз. Вершина находится в точке с координатами (0; - 1). Находим доп. точки, для этого строим таблицу:

Х	±1	± 2	± 3
У	- 2	- 5	- 10

б) у = 0 – ось Ох; х = - 1, х = 2 – прямые параллельные оси Оу

У

0 Х

- 2 - 1 1 2 3

Х = -1 Х = 2

У = - х² – 1

I =

S =

2. Фигура, ограниченная графиками двух непрерывных на отрезке [a; b] функций f(x) и g(x) и прямыми x = a, x = b, где f(x) ≥ g(x). В этом случае искомая площадь вычисляется по формуле

S = (2)

Пример 27. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями , .

Решение:1) Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций и . Для этого решим систему

Имеем

, , a = 1, b= - 1, c = - 2

D =

D = (- 1)² - 4· 1· ( - 2) =9 , , .

Следовательно a = - 1, b = 2

2)Построим графики функций:

а) y = 4 – x² - квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз. Вершина находится в точке с координатами (0;4). Находим доп. точки, для этого строим таблицу:

Х	±1	± 2	± 3
У			- 5

б) y = x² - 2x – квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: х_в = - .

Вершина находится в точке с координатами (1; - 1). Находим доп. точки, для этого строим таблицу:

У

Х	- 1
У

у = х² – 2х

0 Х

У = 4 – х²

Искомую площадь вычисляем по формуле (2):

; кв. ед.

3.Фигура, ограничена осью Ох, прямыми x = a, x = b и графиком функции f(x), которая непрерывна на данном отрезке и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке. В этом случае отрезок [a;b] разбивают на части. Искомая площадь Sчисленно равна алгебраической сумме интегралов, взятых по каждому из полученных отрезков, т. е.

S = S₁ + S_2, S₁ = S₂ = dx

У

S₁

a c b X

S₂

Пример 28: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = sinx, x = - , x= . Решение: Построим графики функций: У

х = - 0 π Х

S = S₁ + S_2; S₁ = = = (- cos x) =2; S = 1 + 2 = 3 кв. ед.

4.Фигура ограничена графиками трех и более непрерывных на отрезка [a;b] функций. В этом случае искомую площадь вычисляют как алгебраическую сумму площадей, вычисление каждой из которых сводится к одному из предыдущих случаев.

Пример 29: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = ; y = ; y = 2x. Решение: 1) Находим пределы интегрирования, т.е. точки пересечения графиков функций. Для этого необходимо решить 3 системы уравнений:

а)

Имеем , возведем обе части уравнения в квадрат

х = 4х²

4х² – х = 0

х(4х – 1) = 0

х₁ = 0 или 4х – 1 = 0

4х = 1

х₂ =

б) Имеем

8 = 2х²

х² = 4

х_1,2 = ± 2

в) Имеем =

х =

х³ = 64

х = = 4

2) Построим графики данных функций:

а) у = - графиком является ветвь параболы, расположенная в 1 четверти , т. к. х ≥ 0.

Х
у

б) y = - обратная пропорциональность, графиком является гипербола, расположенная в I и в III координатных четвертях.

Х	± 1	± 2	± 4	± 8
У	± 8	± 4	± 2	± 1

в) у = 2х – прямая пропорциональность, графиком является прямая, проходящая через начала координат.

Х
У

Т. К. х ≥ 0, то графики достаточно построить в 1 координатной четверти

У у =

у = 2х

У =

1 2

3) Находим площадь фигуры. Она равна сумме площадей на отрезке [ , т. е.

S = S₁ + S_2, где S₁ = (кв. ед.)

S₂ =

S =

Дифференциальные уравнения.

Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, ее производную (или дифференциал аргумента и дифференциал функции).

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения , где - искомая функция, - ее производная по x, а F – заданная функция переменных x, y, y’.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция от x и произвольной постоянной C, обращающая это уравнение в тождество по x.

Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом.

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении C: , где - фиксированное число.

Частным интегралом уравнения называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении C: .

График любого частного решения дифференциального уравнения называется дифференциальной кривой. Общему решению (и общему интегралу) этого уравнения соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра.

Задача нахождения частного интеграла дифференциального уравнения n-го порядка (n=1, 2, 3, …), удовлетворяющего начальным условиям вида , , , …, , называется задачей Коши.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальному условию . Другими словами, из всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения требуется выделить ту, которая проходит через точку .

Пример 1. Составить уравнение кривой , если угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой равен 2x.

Решение. Так как на основании геометрического смысла производной , то получим дифференциальное уравнение первого порядка:

, , .

Чтобы найти искомую функцию , надо проинтегрировать обе части уравнения . Отсюда получим общее решение дифференциального уравнения: . Геометрически это решение представляет собой семейство парабол с вершиной на оси Oy, симметричных относительно этой оси (рис. 18).

Рисунок 18.

Чтобы из общего решения выделить частное решение, надо задать начальные условия. Пусть при , тогда общее решение примет вид , откуда . Геометрически частное решение представляет собой параболу, проходящую через точку (1, -1) (рис. 68).

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общий вид такого уравнения

где , - функции только от x, , - функции только от y.

Поделив обе части уравнения на произведение , получим уравнение с разделяющимися переменными: .

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

.

Замечание. Если произведение при x=a и y=b, то эти функции x=a и y=b являются решениями дифференциального уравнения при условии, что при этих значениях x и y уравнение не теряет числового смысла. Геометрически эти решения представляют собой прямые, параллельные осям координат.

Пример 2. Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию y=4 при x=-2.

Решение. Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения: , .

Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде C/2. Тогда

.

Подставив в общее решение значения y=4 и x=-2, получим , откуда .

Пример 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение. Так как , то , откуда .

Разделим обе части уравнения на произведение : .

Преобразуем дробь: .

Тогда .

Интегрируя, находим

, , .

Для облегчения потенцирования и получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде . После потенцирования получим

, откуда , или , где .

Произведение при и . При этих значениях x и y дифференциальное уравнение не теряет числового смысла, поэтому и - решение уравнения, но решение входит в решение при .

Значит, решения уравнения имеют вид и .

Пример 4. Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию при .

Решение. Разделим каждый член уравнения на произведение :

.

Интегрируя, находим , , .

После потенцирования получим , или , где . Отсюда .

Произведение при ; так как при этом значении дифференциальное уравнение не теряет числового смысла, то - решение уравнения. Но оно входит в интеграл при . Значит, общий интеграл уравнения имеет вид .

Подставив в общий интеграл значения и , получим , откуда . Итак, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий данному условию. Имеет вид .

Пример 5. Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию при .

Решение. Так как , то , откуда .

Разделим обе части уравнения на : .

Интегрируя, находим , , или .

После потенцирования получим решение .

При и имеем , , откуда .

Итак, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий данному условию, имеет вид

, или .

Пример 6. Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию при .

Решение. Так как , то , откуда .

Разделим обе части уравнения на произведение : .

Интегрируя находим , .

После потенцирования получим решение , откуда , или , где .

Произведение при ; так как при этом значении y дифференциальное уравнение не теряет числового смысла, то - решение уравнения. Но оно входит в решение при . Значит, общее решение уравнения имеет вид .

Подставив в общее решение значения и , получим , откуда . Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид .

Дифференциальные уравнения второго порядка. Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше второго порядка, то оно называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Общий вид такого уравнения ,

где - искомая неизвестная функция, и - ее производные по x первого и второго порядков, а - заданная функция переменных .

Общим уравнением дифференциального уравнения второго порядка называется функция от x и двух произвольных постоянных и , обращающая это уравнение в тождество по x.

Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом.

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении и : , где и - фиксированные числа.

Частным интегралом этого уравнения называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении и : , где и - фиксированные числа.

Общее решение дифференциального уравнения можно рассматривать кА семейство интегральных кривых данного уравнения, зависящее от двух параметров и . Частному решению, полученному из общего, соответствует одна кривая этого семейства.

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальным условиям , . Постоянные и определяются из системы уравнений

Другими словами, из всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения требуется выделить интегральную кривую, проходящую через данную точку в заданном направлении

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , где и - некоторые числа.

Если , то дифференциальное уравнение называется линейным однородным. Оно имеет вид .

Справедлива теорема: если и - частые решения уравнения , причем , то функция , где и - произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Решением данного дифференциального уравнения должна быть такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение, превратит его в тождество. Левая часть уравнения представляет собой сумму функции y и ее производных и , взятых с некоторыми постоянными коэффициентами. Чтобы такая сумма бранилась в нуль, надо, чтобы y, и были подобны между собой.

Такой функцией является функция , где - постоянная. Требуется подобрать так, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению .

Так как , а , то, подставляя эти значения y, и в левую часть уравнения , получим .

Сокращая на множитель , не обращающийся в нуль, получим характеристическое уравнение .

Это уравнение определяет те значения , при которых функция является решением дифференциального уравнения .

При решении характеристического уравнения возможны три случая:

№	корни уравнения	частные решения	общее решение
	действительные различные ( )
	действительные равные ( )
	комплексно-сопряженные ( )

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

, , , .

Корни характеристического уравнения являются действительными и различными. Поэтому , - частные решения, а - общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение или имеет действительные равные корни . Поэтому , - частные решения, а - общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

, , , .

Корни являются комплексно-сопряженными. Поэтому , - частные решения, а - общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 10. Найти общее решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее данными начальным условиям при , , .

Решение. Характеристическое уравнение или имеет действительные равные корни . Поэтому , - частные решения, а - общее решение данного дифференциального уравнения.

Для определения частного решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, сначала найдем производную функции :

. Теперь подставим начальные условия в выражения для и :

или ,

откуда и .

Подставив эти значения в общее решение, найдем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям: .

Упражнения для самопроверки

1. Найдите интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) ; ; д) ;е) ; ж) ; з) .

2. Вычислите определенные интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения (частные интегралы), удовлетворяющие данным условиям:

а) , при ; б) , при ; в) , при ; г) , при