Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка.

В общем случае задача Коши решения в аналитическом виде не имеет, поэтому ее решают численными методами, простейшим из которых является метод Эйлера.

Для этого зададимся на оси 0x достаточно малыми шагами Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru . Будем рассматривать решение в точках с координатами Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru (рис. 4.2):

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru , Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru , Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru . (4.3)

Введем обозначения:

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru ; (4.4)

Из начального условия нам известно значение функции Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru в точке Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru : Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru . Для определения значения Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru в точке Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru запишем следующее равенство:

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru (4.5)

Для проверки подставляем значение интеграла Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru .

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru

Рис. 4.2. Схема разбиения.

Далее, воспользуемся уравнением (4.1) и заменим под знаком интеграла Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru на Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru :

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru (4.6)

Поскольку значение подынтегральной функции на интервале Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru нам известно только в точке Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru , воспользуемся численным интегрированием по формуле левых прямоугольников:

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru (4.7)

Таким образом, приближенное значение Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru можно получить по формуле

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru

Аналогично можно получить приближенные значения:

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru

и т.д.

Пользуясь таким алгоритмом, последовательно получим решение для любого количества точек разбиения. Вышеизложенный подход для решения задачи Коши называется методом Эйлера. Общий вид метода Эйлера:

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru – задано

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru (4.8)

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru

Заметим, что в сложных практических случаях для решения применяются различные модифицированные алгоритмы, связанные с уточнением шага разбиения на каждом шаге пересчета. Среди такого рода модификаций наиболее употребляемыми являются методы типа Рунге-Кутта, излагаемые в соответствующей специализированной литературе. Приведем простейший вариант уточнения метода Эйлера.

Пусть значение Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru , вычисленное по формуле (4.8) будет неокончательным (промежуточным). Обозначим его Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru , т.е.

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru (4.9)

Тогда для определения значения интеграла

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru

нам на интервале интегрирования Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru известны значения подынтегральной функции в двух точках: Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru и Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru . Поэтому можно воспользоваться формулой трапеции, которая на порядок точнее формулы левых прямоугольников:

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru (4.10)

Таким образом, общий вид уточненного алгоритма метода Эйлера имеет вид

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru (4.11)

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) n-го порядка

Математическая формулировка задачи

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru (4.12)

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru – начальные условия (4.13)

Сведение задачи Коши для ОДУ n-го порядка к задаче Коши для системы n ОДУ 1-го порядка

Введем (n-1) дополнительные неизвестные функции по правилу:

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru , Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru , …, Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru (4.14)

Тогда вместо уравнения (4.12) получим систему ОДУ 1-го порядка:

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru , Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru (4.15)

Соответственно, начальные условия приводятся к виду

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru – начальные условия (4.16)

Вариант метода Эйлера решения задачи Коши для системы ОДУ 1-го порядка.

Наиболее простым и естественным для численного решения задачи Коши (4.15)-(4.16) представляется следующий алгоритм метода Эйлера:

– для первого уравнения использовать интегрирование по формуле левых прямоугольников (без уточнения),

– для остальных – по формуле трапеции, т.е.:

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru – задано (начальные условия)

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru (4.17)

Задача об изгибе консоли (задача Коши)

Задание.

Рассмотрим задачу об изгибе консоли, жестко закрепленной с левого края (рис. 4.3).

Определить прогиб консоли (решить задачу Коши)

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru (Л4.1)

методом Эйлера.

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru

Рис. 4.3. К задаче об изгибе консоли.

Варианты задания.

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru – изгибающие моменты в балке (рис. 4.3);

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru – жесткость балки; Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru – числовой параметр,

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru – длина балки; Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru – номер группы, Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru – номер студента по журналу.

Принять для расчета на ЭВМ число точек Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru .

Предварительные построения.

Сводим основное уравнение исходной задачи второго порядка к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru (Л4.2)

где Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. - student2.ru .

Наши рекомендации