Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Используются два способа такой аппроксимации. Первый называется «усовершенствованным» методом Эйлера, второй - «модифицированным» методом Эйлера.

Геометрическая интерпретация усовершенствованного метода приведена на рис.7.6.

Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru

Рис.7.6. Усовершенствованный метод Эйлера

Прямая L1 есть касательная к истинной кривой y=y(x) в точке (xm, ym). Ее наклон к оси OX равен углу Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru , для которого

Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru ,

или в силу (7.2):

Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru .

Прямая L2 есть касательная к решению уравнения (7.2) в точке Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru , являющейся пересечением L1 c прямой x = xm+1. Наклон L2 равен углу Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru , для которого

Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru .

Прямая Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru проходит через точку Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru , а ее угол наклона равен Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru , для которого

Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru или Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru .

Прямая L параллельна Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru и проходит через точку (xm, ym), а ее пересечение с x = xm+1 как раз и определяет окончательное значение ym+1.

Данное геометрическое построение в аналитическом виде выглядит следующим образом: сначала вычисляется значение Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru функции y(x) в точке xm+1 по методу Эйлера:

Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru , (7.7)

а затем оно используется для вычисления Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru , т.е. приближенного значения производной в конце интервала (xm,xm+1):

Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru .

Вычислив среднее между этим значением производной и ее значением f(xm, ym) в начале интервала, найдем более точное значение ym+1:

Усовершенствованный метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка - student2.ru .   (7.8)

Формула (7.8) представляет собой вычислительный алгоритм усовершенствованного метода Эйлера.

Наши рекомендации