Основные методы решения тригонометрических уравнений.

1º. Уравнение вида (a¹0, b¹0, c¹0) равносильно уравнению , где , .

Пример 40. Решить уравнение.

Решение:

.

Ответ: .

2º. Одним из основных методов решения тригонометрических уравнений, так же как и других видов уравнений, является метод подстановки (замены переменной).

Пример 41. Решить уравнение .

Решение: Так как , то уравнение можно переписать следующим образом: , т.е. . Полагая , приходим к квадратному уравнению , откуда , и получаем совокупность двух простейших уравнений . Первое из них имеет решение , а второе решений не имеет.

Ответ: .

Метод замены переменной полезен при решении так называемых однородных уравнений, т.е. уравнений вида

(однородное уравнение I порядка),

(однородное уравнение II порядка).

Если a¹0, то при делении обеих частей первого уравнения на , а второго уравнения на получаем алгебраические уравнения, решаемые подстановкой . Если a=0, то во втором уравнении выносится за скобки.

Пример 42. Решить уравнение .

Решение: Разделив уравнение на , получим . Пусть , тогда или:

1) ;

2) .

Ответ: .

Замечание 1. Уравнение вида (d¹0) можно привести к однородному уравнению II порядка, положив .

Замечание 2. Уравнение вида (c¹0) можно привести к однородному уравнению II порядка относительно и .

3º. При решении тригонометрических уравнений также часто используют метод разложения на множители.

Пример 43. Решить уравнение .

Решение: Все члены уравнения переносятся в левую часть, после чего левую часть уравнения раскладывают на множители:

.

Значит, либо , откуда , либо , откуда .

Ответ: .

Заметим, что для разложения на множители могут применяться различные формулы: формулы разложения тригонометрических функций в произведение, формулы понижения степени, формулы преобразования произведения в сумму и др.

Пример 44. Решить уравнение .

Решение: Согласно формуле (10.19) заменим произведение тригонометрических функций суммой, а затем воспользуемся формулой (10.15):

.

Ответ: .

Пример 45. Решить уравнение .

Решение: Это уравнение можно привести к квадратному относительно , понизив степень и , но существует более короткий способ.

Дополним левую часть уравнения до полного квадрата суммы, для чего прибавим к обеим частям уравнения. Получим уравнение равносильное данному:

;

.

Применяя формулы (10.1) и (10.10), получаем: .

Пусть . Тогда ; (не удовлетворяет условию ), . Так как , то ,

.

Ответ: .

Таблица значений тригонометрических функций.

Аргумент   Функция						π		2π
							-1
						-1
					—		—
	—					—		—

Дидактический материал.

Решите уравнение:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ;

8. ; 9. ;

10. ; 11. ;

12. ; 13. ;

14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. ;

26. ; 27. ;

28. Определите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку .

29. Определите количество корней уравнения , принадлежащих интервалу .

30. Определите количество корней уравнения , принадлежащих интервалу .

Тема №12.

Решение геометрических задач.

Планиметрия.

1º. Произвольный треугольник.

a, b, c – стороны;

α, β, γ – противолежащие им углы;

p – полупериметр;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности;

S – площадь;

h_a – высота, проведенная к стороне a.

;

(формула Герона);

;

;

(теорема косинусов);

(теорема синусов).

Следует иметь в виду, что:

1) центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис треугольника;

2) центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника;

3) медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

2º. Прямоугольный треугольник.

a, b – катеты; c – гипотенуза;

a_c, b_c – проекции катетов на гипотенузу;

;

;

;

(центр описанной окружности находится на середине гипотенузы);

(теорема Пифагора);

; ; ;

.

3º. Равносторонний треугольник.

; ; ; .

4º. Параллелограмм.

a, b – смежные стороны;

α – угол между ними;

d₁ и d₂ – диагонали;

φ – угол между диагоналями;

h_a – высота, проведенная к стороне a;

S – площадь.

;

;

;

(сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон).

5º. Ромб.

;

;

;

.

6º. Прямоугольник.

;

;

.

7º. Квадрат.

;

.

8º. Трапеция.

;

.

9º. Описанный многоугольник.

,

где p – полупериметр, r – радиус вписанной окружности.

10º. Правильный многоугольник.

Если a_n – сторона правильного n-угольника, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, то:

.

11º. Окружность, круг.

Если r – радиус, C – длина окружности, S - площадь круга, то:

;

.

Пример 46. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны и . Тогда гипотенуза треугольника равна:

1) 8 2) 12 3) 10 4) 14 5) 16.

Решение.

Введем следующие обозначения:

. Тогда по теореме Пифагора получаем:

, .

По условию задачи: .

1) Из ΔBPC: , . (1)

2) Из ΔAKC: , . (2)

Из (1) и (2) получаем систему алгебраических уравнений:

.

Ответ: 10 (правильный ответ – №3).

Пример 47. В трапеции сторона основания равна 7, высота 5, площадь 25. Тогда другое основание трапеции равно

1) 6 2) 4 3) 2 4) 3 5) 5.

Решение.

На рисунке и DC – основания данной трапеции, – ее высота . По условию задачи площадь трапеции равна .

По формуле получаем уравнение относительно DC:

.

Второе основание трапеции равно 3.

Ответ: 3 (правильный ответ – №4).

Пример 48. Периметр ромба равен 2p см, сумма его диагоналей равна m см. Тогда площадь ромба равна

1) 2) 3) 4) 5)

Решение.

Пусть дан ромб ABCD, – его диагонали, .

По условию задачи , периметр ромба . Требуется вычислить площадь ромба. Площадь ромба вычислим по формуле .

Найдем произведение диагоналей ромба: . Так как сумма квадратов диагоналей ромба равна сумме квадратов всех его сторон, то получаем .

Преобразуем это равенство: , но . Поэтому .

Окончательно, .

Ответ: см² (правильный ответ – №3).

Дидактический материал.

1. В треугольнике ABC длины сторон AB и AC соответственно равны 4 и 6, а синус угла BAC равен . Тогда сторона CB (CB>8) равна:

1) 2) 3) 4) 5) .

2. В равнобедренном треугольнике основание равно 18, а боковая сторона в 1,25 больше высоты. Тогда площадь треугольника равна:

1) 216 2) 108 3) 144 4) 121 5) 110.

3. В треугольнике сторона, равная 12, расположена против угла 30º. Тогда радиус описанной около этого треугольника окружности равен:

1) 24 2) 14 3) 12 4) 8 5) 15.

4. Около прямоугольника с меньшей стороной, равной 46, и углом между диагоналями, равным 60º, описана окружность. Тогда площадь круга равна:

1) 1058π 2) 1600π 3) 2116π 4) 1024π 5) 625π.

5. В ромб вписана окружность радиуса 2. Определить площадь ромба, если его острый угол равен 60º.

1) 2) 3) 4) 5) 16

6. Даны стороны треугольника см, см, см. Тогда радиус описанной около него окружности равен:

1) 64 2) 8 3) 7 4) 5)

7. В треугольник вписан круг радиуса 4 см. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 см и 8 см. Тогда длины двух других сторон равны:

1) 13 и 12 2) 12 и 8 3) 13 и 15 4) 11 и 9 5) 10 и 6.

8. Внутри круга, радиус которого равен 13 см, дана точка М, отделенная от центра круга на 5 см. через точку М проведена хорда см. Тогда длины отрезков, на которые хорда AB делится точкой М, равны:

1) 9 и 16 2) 8 и 17 3) 4 и 21 4) 5 и 20 5) 6 и 19

9. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 2 и 3. Тогда длина биссектрисы прямого угла этого треугольника равна:

1) 2) 3) 4) 5)

10. Длины оснований трапеции относятся как 7:3 и различаются на 8. Тогда длина средней линии трапеции равна:

1) 6 2) 10 3) 12 4) 8 5) 5.

11. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 см и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании.

1) 2) 3) 4)

5)

12. Площадь квадрата, вписанного в правильный треугольник со стороной a, равна:

1) 2) 3) 4) 5) .

13. Площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные – 17 и 25, равна:

1) 420 2) 430 3) 440 4) 450 5) 460

14. Медиана, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит его периметр на две части, длины которых равны 30 и 12 соответственно. Определить длину основания треугольника.

1) 1 2) 1,5 3) 2 4) 2,5 5) 3.

15. Сторона ромба равна 16, острый угол равен 30º. Определить радиус вписанного круга.

1) 3 2) 3,5 3) 4 4) 4,5 5) 5.

16. Круг описан около прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен 6 см, а угол, лежащий против этого катета, равен . Тогда площадь круга равна:

1) 6π см² 2) 9π см² 3) 36π см² 4) 144π см² 5) 24π см²