Стереометрия. Многогранники.

1º. Призмой называется многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников (оснований), расположенных в параллельных плоскостях, и параллелограммов (боковых граней), число которых равно числу сторон оснований.

Если l – длина бокового ребра, P – периметр основания, Sосн – площадь основания, Sсеч – площадь перпендикулярного сечения; Sбок – площадь боковой поверхности, V – объем, H – высота, то:

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru ; Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

2º. Прямой называется призма, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Прямая призма называется правильной, если в ее основаниях лежат правильные многоугольники.

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru

3º. Прямоугольным параллелепипедом называется прямая призма, основания которой – прямоугольники.

Если a, b, c – измерения параллелепипеда, d – диагональ, то:

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru ; Стереометрия. Многогранники. - student2.ru ; Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

4º. Куб – прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны (a – ребро).

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru ; Стереометрия. Многогранники. - student2.ru

5º. Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник (основание), а остальные грани (боковые грани) – треугольники, имеющие общую вершину.

Если Sосн – площадь основания, V – объем, H – высота, то:

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru ;

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то:

1) боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;

2) вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности.

Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом α, то:

1) апофемы всех боковых граней равны;

2) вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание;

3) Стереометрия. Многогранники. - student2.ru ; Стереометрия. Многогранники. - student2.ru ;

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru

6º. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.

Если P – периметр основания, l – апофема, Sбок – площадь боковой поверхности, то:

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru ; Стереометрия. Многогранники. - student2.ru ; Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

6º. Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Для произвольной усеченной пирамиды: Стереометрия. Многогранники. - student2.ru ,

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru ,

для правильной усеченной пирамиды: Стереометрия. Многогранники. - student2.ru ,

где S1 и S2 – площади оснований, h - высота, V – объем, P1 и P2 – периметры оснований, l – апофема; Sбок – площадь боковой поверхности.

Пример 49. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 6 см, 8 см, 10 см и все боковые ребра образуют с основанием углы по 45º. Тогда объем пирамиды равен:

1) 62 см3 2) Стереометрия. Многогранники. - student2.ru см3 3) 40 см3 4) 24 см3 5) 96 см3.

Решение.

Дано: MABC – пирамида, Стереометрия. Многогранники. - student2.ru

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru . Найти Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru

Так как Стереометрия. Многогранники. - student2.ru , т.е. Стереометрия. Многогранники. - student2.ru , то по теореме обратной теореме Пифагора – ΔABC – прямоугольный, Стереометрия. Многогранники. - student2.ru , AB, BC – его катеты, AC – гипотенуза. По условию все боковые ребра пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания, значит, вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности, т.е. в середину гипотенузы ΔABC.

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru , Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

В ΔAOM ( Стереометрия. Многогранники. - student2.ru ) острые углы Стереометрия. Многогранники. - student2.ru треугольник равнобедренный, Стереометрия. Многогранники. - student2.ru . Таким образом,

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

Ответ: Стереометрия. Многогранники. - student2.ru см3 (№3 – правильный ответ).

Пример 50. Пусть в треугольной пирамиде все боковые грани образуют с плоскостью основания углы по 60º, и в основание вписан круг площадью 9π см2. Тогда высота пирамиды равна:

1) 3 см 2) Стереометрия. Многогранники. - student2.ru см 3) Стереометрия. Многогранники. - student2.ru см 4) 9 см 5) Стереометрия. Многогранники. - student2.ru см.

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru

Решение. Пусть радиус круга, вписанного в основание пирамиды, - r. Тогда площадь круга S равна: Стереометрия. Многогранники. - student2.ru . Отсюда Стереометрия. Многогранники. - student2.ru . Из прямоугольного треугольника OMN находим: Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

Ответ: высота пирамиды равна Стереометрия. Многогранники. - student2.ru см (№3 – правильный ответ).

Пример 51. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат площадью 16 см2. Через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего проведена плоскость. Площадь полученного сечения равна 20 см2. При этом полная поверхность параллелепипеда равна:

1) 96 см2 2) 48 см2 3) 40 см2 4) 80см2 5) 56 см2.

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru Решение.

Дано: ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, ABCD – квадрат, Стереометрия. Многогранники. - student2.ru Стереометрия. Многогранники. - student2.ru . Стереометрия. Многогранники. - student2.ru см2, ABC1D1 – сечение параллелепипеда, Стереометрия. Многогранники. - student2.ru см2. Найти Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

По условию Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

Тогда Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

Вычислим СС1. По условию Стереометрия. Многогранники. - student2.ru , Стереометрия. Многогранники. - student2.ru , Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

Из ΔBCC1: Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

Окончательно, Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

Ответ: Стереометрия. Многогранники. - student2.ru см2 (№4 – правильный ответ).

Дидактический материал.

1. Если боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна 40 см2, а полная 90 см2, то высота призмы равна:

1) 5 см 2) 4 см 3) 2 см 4) 3 см 5) 10 см.

2. Высота правильной треугольной пирамиды равна равна 6 см. На расстоянии 3 см от вершины проведена плоскость, параллельная основанию. Площадь полученного сечения равна 5 см2. Тогда объем данной пирамиды равен:

1) 40 см2 2) 120 см2 3) 20 см2 4) 25 см2 5) 60 см2.

3. Если площадь основания правильного параллелепипеда равна 9 см2, а его полная поверхность равна 66 см2, то объем параллелепипеда равен:

1) 40 см3 2) 48 см3 3) 36 см3 4) 32 см3 5) 64 см3.

4. В основание правильной четырехугольной пирамиды вписан круг радиуса 2 см. Боковые грани составляют с плоскостью основания углы 60º. При этих условиях полная поверхность пирамиды равна:

1) 48 см2 2) 32 см2 3) 64 см2 4) 24 см2 5) 36 см2.

5. Около основания правильной шестиугольной призмы описана окружность радиуса 3 см. Высота призмы 4 см. Тогда площадь боковой поверхности призмы равна:

1) 84 см2 2) 36 см2 3) 72 см2 4) 54 см2 5) 42 см2.

6. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Все боковые грани образуют с основанием углы 60º. В этих условиях площадь полной поверхности пирамиды равна:

1) 72 см2 2) 64 см2 3) 48 см2 4) 56 см2 5) 88 см2.

7. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Объем пирамиды равен 40 см3. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом. Этот угол равен:

1) 45º 2) 30º 3) 60º 4) 15º 5) 22º15´.

8. объем правильной треугольной призмы равен Стереометрия. Многогранники. - student2.ru . Радиус окружности, описанной около основания равен 2. Найти высоту призмы.

1) 6 2) 8 3) 15 4) 9 5) 12.

9. Объем куба равен Стереометрия. Многогранники. - student2.ru . Найти радиус окружности, описанной вокруг грани куба:

1) Стереометрия. Многогранники. - student2.ru 2) 3 3) Стереометрия. Многогранники. - student2.ru 4) 2 5) Стереометрия. Многогранники. - student2.ru .

Наши рекомендации