Лекция 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ
Вопросы:
1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.
2. Правила дифференцирования.
3. Производные высших порядков. Дифференциал функции.
1. Понятие производной
Пусть М – некоторая точка кривой γ
Если и , то
секущая , если она
существует. Предельное положение
– касательная к γ в точке М.
Пусть определена в некоторой точке х и ее окрестности. Дадим аргументы х приращение , при этом . Тогда функция получит приращение .
Опр.: Производной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю, если это предел существует.
Обозначения
Итак, по определению
(*)
Процесс нахождения производной называется дифференцированием этой функции.
Функция называется дифференцируемой в некоторой точке х, если существует предел см. (*).
Непрерывность есть необходимое (но не достаточное) условие дифференцируемости функции.
Функция непрерывная в некоторой точке х может быть и не дифференцируемой в этой точке.
Пример: в точке х = 0 не дифференцируема.
Геометрический смысл производной
Секущая MN при становится касательной , т.е.
Т.е. производная функции в точке х равна угловому коэффициенту касательной в точке к кривой заданной уравнением .
Физический смысл производной
Если за промежуток времени тело прошло путь , то средняя скорость движения тела равна
При получим мгновенную скорость в t, т.е.
Правила дифференцирования
Схема вычисления производной:
1. Дать аргументу приращение , найти значения функции .
2. Найти приращение функции .
3. Составить отношение
4. Найдем предел этого отношения при , т.е. (если этот придел существует).
Пример:
1.
2.
3.
4.
Т.о. .
Можно доказать, что .
Правила дифференцирования:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Таблица производных:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Производная сложной функции:
Теорема: Если и – дифференцируемы функции от своих аргументов, то производная сложной функции:
Действительно:
Пример:
1)
, получим
2)
Производная обратной функции:
Дифференцируемая функция с производной имеет однозначную непрерывную обратную функцию , причем обратная функция так же дифференцируема и справедлива формула:
Пример:
Дифференциал функции. Производные высших порядков
Опр.: Выражение называется дифференциалом функции .
Он имеет следующие свойства:
1)
2)
золотые свойства дифференциала, которые пригодятся при нахождении интегралов функции.
Опр.: Т.к. производная функции в свою очередь так же является функцией то ее можно продифференцировать. Производной n-го называется от производной (n–1)-го порядка.
Обозначение:
– 2-го порядка
– 3-го порядка
…….
– n-го порядка
или
Пример:
Аналогично определяются дифференциалы высших порядков: