Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии.

Прогнозирование по уравнению регрессии представляет собой подстановку в уравнение регрессии соответственного значения х. Такой прогноз называется точечным. Он не является точным, поэтому дополняется расчетом стандартной ошибки ; получается интервальная оценка прогнозного значения :

Преобразуем уравнение регрессии:

ошибка зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии т.е.

Из теории выборки известно, что

Используем в качестве оценки остаточную дисперсию на одну степень свободы получаем:

Ошибка коэффициента регрессии из формулы (15):

Таким образом, при получаем:

(23)

Как видно из формулы (23), величина достигает минимума при и возрастает по мере удаления от в любом направлении.

Для нашего примера эта величина составит:

При . При

Для прогнозируемого значения 95% - ные доверительные интервалы при заданном определены выражением:

(24)

т.е. при или При прогнозное значение составит - это точечный прогноз.

Прогноз линии регрессии лежит в интервале:

Мы рассмотрели доверительные интервалы для среднего значения при заданном Однако фактические значения варьируются около среднего значения они могут отклоняться на величину случайной ошибки ε, дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы Поэтому ошибка прогноза отдельного значения должна включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку S. Таким образом, средняя ошибка прогноза индивидуального значения составит:

(25)

Для примера:

Доверительный интервал прогноза индивидуальных значений при с вероятностью 0,95 составит: или

Пусть в примере с функцией издержек выдвигается предположение, что в предстоящем году в связи со стабилизацией экономики затраты на производство 8 тыс. ед. продукции не превысят 250 млн. руб. Означает ли это изменение найденной закономерности или затраты соответствуют регрессионной модели?

Точечный прогноз:

Предполагаемое значение - 250. Средняя ошибка прогнозного индивидуального значения:

Сравним ее с предполагаемым снижением издержек производства, т.е. 250-288,93=-38,93:

Поскольку оценивается только значимость уменьшения затрат, то используется односторонний t- критерий Стьюдента. При ошибке в 5 % с , поэтому предполагаемое уменьшение затрат значимо отличается от прогнозируемого значения при 95 % - ном уровне доверия. Однако, если увеличить вероятность до 99%, при ошибке 1 % фактическое значение t – критерия оказывается ниже табличного 3,365, и различие в затратах статистически не значимо, т.е. затраты соответствуют предложенной регрессионной модели.

Нелинейная регрессия

До сих пор мы рассматривали лишь линейную модель регрессионной зависимости y от x (3). В то же время многие важные связи в экономике являются нелинейными. Примерами такого рода регрессионных моделей являются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства – трудом, капиталом и т.п.) и функции спроса (зависимости между спросом на какой-либо вид товаров или услуг, с одной стороны, и доходом и ценами на этот и другие товары – с другой).

При анализе нелинейных регрессионных зависимостей наиболее важным вопросом применения классического МНК является способ их линеаризации. В случае линеаризации нелинейной зависимости получаем линейное регрессионное уравнение типа (3), параметры которого оцениваются обычным МНК, после чего можно записать исходное нелинейное соотношение.

Несколько особняком в этом смысле стоит полиномиальная модель произвольной степени:

, (26)

к которой обычный МНК можно применять без всякой предварительной линеаризации.

Рассмотрим указанную процедуру применительно к параболе второй степени:

(27)

Такая зависимость целесообразна в случае, если для некоторого интервала значений фактора возрастающая зависимость меняется на убывающую или наоборот. В этом случае можно определить значение фактора, при котором достигается максимальное или минимальное значение результативного признака. Если исходные данные не обнаруживают изменение направленности связи, параметры параболы становятся трудно интерпретируемыми, и форму связи лучше заменить другими нелинейными моделями.

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени сводится к дифференцированию суммы квадратов остатков регрессии по каждому из оцениваемых параметров и приравниванию полученных выражений нулю. Получается система нормальных уравнений, число которых равно числу оцениваемых параметров, т.е. трем:

(28)

Решать эту систему можно любым способом, в частности, методом определителей.

Экстремальное значение функции наблюдается при значении фактора, равном:

.

Если b>0, c<0, имеет место максимум, т.е. зависимость сначала растет, а затем падает. Такого рода зависимости наблюдаются в экономике труда при изучении заработной платы работников физического труда, когда в роли фактора выступает возраст. При b<0, c>0 парабола имеет минимум, что обычно проявляется в удельных затратах на производство в зависимости от объема выпускаемой продукции.

В нелинейных зависимостях, не являющихся классическими полиномами, обязательно проводится предварительная линеаризация, которая заключается в преобразовании или переменных, или параметров модели, или в комбинации этих преобразований. Рассмотрим некоторые классы таких зависимостей.

Зависимости гиперболического типа имеют вид:

(29)

Примером такой зависимости является кривая Филлипса, констатирующая обратную зависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы. В этом случае значение параметра b будет больше нуля. Другим примером зависимости (29) являются кривые Энгеля, формулирующие следующую закономерность: с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается, а доля доходов, расходуемых на непродовольственные товары, будет возрастать. В этом случае b<0, а результативный признак в (29) показывает долю расходов на непродовольственные товары.

Линеаризация уравнения (29) сводится к замене фактора z=1/x, и уравнение регрессии имеет вид (3), в котором вместо фактора х используем фактор z:

(30)

К такому же линейному уравнению сводится полулогарифмическая кривая:

(31)

которая может быть использована для описания кривых Энгеля. Здесь ln(x) заменяется на z, и получается уравнение (30).

Достаточно широкий класс экономических показателей характеризуется приблизительно постоянным темпом относительного прироста во времени. Этому соответствуют зависимости показательного (экспоненциального) типа, которые записываются в виде:

(32)

или в виде

(33)

Возможна и такая зависимость:

(34)

В регрессиях типа (32) – (34) применяется один и тот же способ линеаризации – логарифмирование. Уравнение (32) приводится к виду:

(35)

Замена переменной сводит его к линейному виду:

, (36)

где . Если Е удовлетворяет условиям Гаусса-Маркова, параметры уравнения (32) оцениваются по МНК из уравнения (36). Уравнение (33) приводится к виду:

, (37)

который отличается от (35) только видом свободного члена, и линейное уравнение выглядит так:

, (38)

где . Параметры А и b получаются обычным МНК, затем параметр a в зависимости (33) получается как антилогарифм А. При логарифмировании (34) получаем линейную зависимость:

, (39)

где , а остальные обозначения те же, что и выше. Здесь также применяется МНК к преобразованным данным, а параметр b для (34) получается как антилогарифм коэффициента В.

Широко распространены в практике социально-экономических исследований степенные зависимости. Они используются для построения и анализа производственных функций. В функциях вида:

(40)

особенно ценным является то обстоятельство, что параметр b равен коэффициенту эластичности результативного признака по фактору х. Преобразуя (40) путем логарифмирования, получаем линейную регрессию:

(41)

где .

Еще одним видом нелинейности, приводимым к линейному виду, является обратная зависимость:

(42)

Проводя замену u=1/y, получим:

(43)

Наконец, следует отметить зависимость логистического типа:

(44)

Графиком функции (44) является так называемая «кривая насыщения», которая имеет две горизонтальные асимптоты y=0 и y=1/a и точку перегиба , а также точку пересечения с осью ординат y=1/(a+b):

Уравнение (44) приводится к линейному виду заменами переменных .

Любое уравнение нелинейной регрессии, как и линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, который в данном случае называется индексом корреляции:

(45)

Здесь - общая дисперсия результативного признака y, - остаточная дисперсия, определяемая по уравнению нелинейной регрессии . Следует обратить внимание на то, что разности в соответствующих суммах и берутся не в преобразованных, а в исходных значениях результативного признака. Иначе говоря, при вычислении этих сумм следует использовать не преобразованные (линеаризованные) зависимости, а именно исходные нелинейные уравнения регрессии. По-другому (45) можно записать так:

(46)

Величина R находится в границах , и чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии. При этом индекс корреляции совпадает с линейным коэффициентом корреляции в случае, когда преобразование переменных с целью линеаризации уравнения регрессии не проводится с величинами результативного признака. Так обстоит дело с полулогарифмической и полиномиальной регрессий, а также с равносторонней гиперболой (29). Определив линейный коэффициент корреляции для линеаризованных уравнений, например, в пакете Excel с помощью функции ЛИНЕЙН, можно использовать его и для нелинейной зависимости.

Иначе обстоит дело в случае, когда преобразование проводится также с величиной y, например, взятие обратной величины или логарифмирование. Тогда значение R, вычисленное той же функцией ЛИНЕЙН, будет относиться к линеаризованному уравнению регрессии, а не к исходному нелинейному уравнению, и величины разностей под суммами в (46) будут относиться к преобразованным величинам, а не к исходным, что не одно и то же. При этом, как было сказано выше, для расчета R следует воспользоваться выражением (46), вычисленным по исходному нелинейному уравнению.

Поскольку в расчете индекса корреляции используется соотношение факторной и общей СКО, то R² имеет тот же смысл, что и коэффициент детерминации. В специальных исследованиях величину R² для нелинейных связей называют индексом детерминации.

Оценка существенности индекса корреляции проводится так же, как и оценка надежности коэффициента корреляции.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессии по F-критерию Фишера:

, (47)

где n-число наблюдений, m-число параметров при переменных х. Во всех рассмотренных нами случаях, кроме полиномиальной регрессии, m=1, для полиномов (26) m=k, т.е. степени полинома. Величина m характеризует число степеней свободы для факторной СКО, а (n-m-1) – число степеней свободы для остаточной СКО.

Индекс детерминации R² можно сравнивать с коэффициентом детерминации r² для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем больше разница между R² и r². Близость этих показателей означает, что усложнять форму уравнения регрессии не следует и можно использовать линейную функцию. Практически, если величина (R²-r²) не превышает 0,1, то линейная зависимость считается оправданной. В противном случае проводится оценка существенности различия показателей детерминации, вычисленных по одним и тем же данным, через t-критерий Стьюдента:

(48)

Здесь в знаменателе находится ошибка разности (R²-r²), определяемая по формуле:

(49)

Если , то различия между показателями корреляции существенны и замена нелинейной регрессии линейной нецелесообразна.

В заключение приведем формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных уравнений регрессии:

Вид уравнения регрессии	Коэффициент эластичности

Список учебной литературы

1. Эконометрика: Учебник /Под ред. И.И. Елисеевой/ - М.: Финансы и статистика, 2001. – 344с.

2. Практикум по эконометрике: Учебное пособие / И.И. Елисеева и др./ - М.: Финансы и статистика, 2001. – 192с.

3. Бородич С.А. Эконометрика: Учебное пособие. – М.: Новое знание. 2001. – 408с.

4. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А., Эконометрика. Начальный курс. Учебное пособие. – М.: Дело, 1998. – 248с.

5.Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: ИНФРА-М, 1997. – 402с.