Измерение вариации по уравнению регрессии

Для проверки того, насколько хорошо независимая переменная предсказывает зависимую переменную в полученной регрессионной модели, необходим расчет ряда мер вариации. Первая из них - общая (полная) сумма квадратов отклонений результативного признака от средней - есть мера вариации значений Y_i относительно их среднего . В регрессионном анализе общая сумма квадратов может быть разложена на объясняемую вариацию или сумму квадратов отклонений за счет регрессии и необъясняемую вариацию или остаточную сумму квадратов отклонений (рис. ).

Рисунок - Графическая интерпретация вариации по уравнению регрессии .

Сумма квадратов отклонений вследствие регрессии это сумма квадратов разностей между (средним значениемY) и Y _xi (значением Y, предсказанным по уравнению регрессии).

Сумма квадратов отклонений, не объясняемая регрессией (остаточная сумма квадратов), это сумма квадратов разностей Y_i и Y _xi . Эти меры вариации могут быть представлены следующим образом (табл.5):

Таблица 5

Общая сумма квадратов (ST)

=

Сумма квадратов за счет регрессии (SR)

+

Остаточная сумма квадратов (SE)

(25)

( 26 )

( 27 )

Остаточная сумма квадратов S_Е - это выражение, стоящее под знаком корня в формуле стандартной ошибки оценки. Тем не менее, в процессе вычислений стандартной ошибки мы всегда вначале вычисляем сумму квадратов ошибки.

Остаточная сумма квадратов может быть представлена следующим образом:

=1602,0971-2,423 ·176,11-0,00873 134127,90= 4,446;

Объясняемая сумма квадратов выразится так:

= = 1602,0971 -1550,7366 51,3605.

S_R = =2,423 •176,11-0,00873 ·134127,90=46,9145.

В самом деле

51,3605 = 46,9145 + 4,4460.

Из этого соотношения определяется коэффициент детерминации:

(28)

Таким образом, коэффициент детерминации - доля вариации Y_i, которая объясняется независимыми переменными в регрессионной модели. Для нашего примера η² = 46,9145/51,3605 = 0,913.

Следовательно, 91,3% вариации уровня рентабельности могут быть объяснены средней выработкой на одного работника, варьирующим от предприятия к предприятию.

Только 8,7% вариации можно объяснить иными факторами, не включенными в уравнение регрессии. В случае парной регрессии коэффициент детерминации равен квадратному корню из квадрата коэффициента линейной корреляции Пирсона.

В простой линейной регрессии г имеет тот же знак, что и b₁. Если b₁> 0, то г > 0; если b₁< 0, то г < 0, если b₁= 0, то г == 0.

В рассматриваемом примере η² = 0,913 и b₁> 0, коэффициент корреляции
г = 0,955. Близость коэффициента корреляции к 1 свидетельствует о тесной положительной связи между уровнем рентабельности предприятия и величиной средней выработки на одного работника. Так как η = =0,956 (η>r), то это очень незначительное расхождение свидетельствует о том, что рассматриваемый экономический процесс можно аппроксимировать линейной зависимостью.

Мы интерпретировали коэффициент корреляции в терминах регрессии, однако корреляция и регрессия - две различные техники. Корреляция устанавливает силу связи между признаками, а регрессия — форму этой связи.