Вывод: Уравнение Бернулли с помощью замены сводится к линейному неоднородному уравнению первого порядка
Я сменю у каждого слагаемого знак, делать это не обязательно, просто запись будет выглядеть стандартнее что ли:
Дальше алгоритм работает по накатанной колее, важно только уметь решать неоднородное уравнение 1-го порядка:
Проведем замену:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим найденную функцию во второе уравнение системы:
Подобные интегралы я ласково называю дурными интегралами, они не столько сложные, сколько творческие – нужно догадаться (хотя бы научным тыком), как их решать.
Данный интеграл берётся по частям:
Творчество присутствует, помимо интегрирования по частям, использован метод подведения функции под знак дифференциала.
Таким образом:
Но это ещё не всё, выполняем обратную замену:
Если изначально было , то обратно будет
В результате получаем общее решение исходного уравнения Бернулли:
Тривиальное решение потерялось (это произошло в самом начале при делении на ) и не вошло в общий интеграл. Однако это обстоятельство нас совершенно не волнует, поскольку по условию требовалось решить только задачу Коши (! заметьте, что если бы условие требовало указать в ответе и общее решение, то его следовало бы дополнить функцией ). Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию :
Ответ: частное решение:
Для мастодонтов дифференциального исчисления вкратце напоминаю алгоритм проверки дифференциального уравнения:
1) проверяем, выполнено ли начальное условие;
2) берём ответ и находим производную ;
3) подставляем ответ и найденную производную в исходное ДУ – должно получиться верное равенство.
Проверить дифференциальное уравнение Бернулли действительно не всем под силу, так как в большинстве случаев приходится находить трудную производную и выполнять громоздкую подстановку.
Когда я подбирал первый пример для этой статьи, то очень хотелось разобрать распространенное уравнение Бернулли в духе , однако сразу же после замены оно становится до неприличия похоже на Пример 8 урока неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Поэтому пусть лучше будет что-нибудь необычное.
Но, вы не расстраивайтесь, вот пара более простых примеров для самостоятельного решения:
Пример 2
Найти решение ДУ , удовлетворяющее начальному условию
Пример 3
Найти решение задачи Коши
,
Полные решения и ответы в конце урока.
В третьем примере перед решением целесообразно представить уравнение в стандартном виде: .
Вообще, иногда составители сборников и методичек зашифровывают уравнения до неузнаваемости, например:
Как говорится, сиди студент и разгадывай ребус – какого хрена типа этот диффур. То ли уравнение с разделяющимися переменными, то ли уравнение в полных дифференциалах, то ли еще какое-нибудь уравнение.
Интереснейшая задача и новая информация, о которой я до сих пор не рассказывал:
Пример 4
Найти решение ДУ , соответствующее начальному условию
Корни, куда же без них.
Решение: Пожалуйста, классический вид уравнения Бернулли.
По условию требуется решить только задачу Коши, поэтому ось абсцисс снова идёт лесом.
Сначала убираем «игрек» из правой части, для этого делим каждую часть на :
Теперь с помощью замены нужно избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом:
Из вышесказанного следует замена:
Найдем производную:
, откуда выразим:
Таким образом:
Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:
Составим и решим систему: .
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Обратная замена: если , то
Общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
…вот тебе и раз. Уравнение имеет два корня и в результате получаются… два частных решения , каждое из которых удовлетворяет начальному условию . Желающие могут выполнить проверку для обеих функций. Однако зададимся вопросом, а могло ли такое получиться в принципе? Может быть где-нибудь допущена ошибка?
Скорее всего, у многих читателей ещё с 1-го урока сложился стереотип, что частное решение всегда единственно. Это далеко не так. В теории математического анализа строго доказано, что задача Коши имеет единственное решение лишь при выполнении определённых условий (соответствующая теорема формулируется в первых параграфах любого учебника/раздела, посвященного диффурам).
В данном случае условие единственности нарушено, и в точке пересекаются (именно пересекаются, а не касаются друг друга!) графики многочленов .
Ответ:начальному условию соотвествуют два частных решения:
А сейчас небольшой оффтопик. Надеюсь, вы хорошо изучили раздел «Функции и графики» и представляете, как выглядит типичный график многочлена 4-ой степени. Семейство кривых (общее решение ДУ) располагается в верхней полуплоскости и касается оси абсцисс в каждой её точке. Образно говоря, множество графиков (при всех действительных значениях константы) своими точками касания порождает решение , которое, как заправский партизан засело в чаще леса и в общее решение не вошло.
Такое необычное решение называют особым решениемдифференциального уравнения.
В общем случае особое решение тоже представляет собой кривую, которая огибает «основное семейство». В рассмотренном же примере оно больше ассоциируется с «подставкой» под графики функций .
Потёрто.
Возможно, некоторые удивились, почему я ничего не рассказал про математика Бернулли. Забыл. Не будем нарушать традиций. Якоб Бернулли почти итальянец, жил в Швейцарии, говорил на 5-ти языках. В семье Бернулли 9 (!) математиков, причём у некоторых представителей династии есть серьёзные достижения и в области физики. …Пожалуй, этой информации будет достаточно, а то мне в голову стал приходить крайне неэтичный юмор в духе «Якоб, Иоганн – какая студенту разница?» =) …Побродил немного по комнате, посмеялся, продолжаю:
Пример 5
Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка.
Немногочисленный пример из моей выборки, когда требуется найти только общее решение. Полное решение и ответ в конце урока.
Мы рассмотрели наиболее распространенные версии уравнения Бернулли – с «игреком» во второй степени и с «игреком» под квадратным корнем. Другие варианты встречаются реже. Разберём пример, когда «игрек» находится в кубе.
Пример 6
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: Данное ДУ является уравнением Бернулли.
Очевидно, что является решением этого уравнение.
И только после этой оговорки делим обе части на :
Избавляемся от «игрека» в «полюбившемся» слагаемом, для этого проведем замену:
В результате:
Получено линейное уравнение, проведем замену:
Решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Проведём обратную замену: если изначально , то обратно:
В принципе, здесь можно выразить общее решение в виде:
, но, согласитесь, смотрится не очень…, словно Дедушка Мороз подсунул в подарок гнилую мандаринку. Эта фишка уже рассматривалась мной на уроке Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Нет-нет, испорченные продукты питания никому не предлагал =)
Лично я в похожей ситуации почти всегда склоняюсь к тому, чтобы оставить ответ в виде общего интеграла (заодно париться не нужно).
Ответ: общий интеграл: . Ещё одно решение:
Перед кремлёвским салютом рассмотрим заключительный пример с отрицательной степенью.
Пример 7
Найти частное решение дифференциального уравнения
,
Это пример для самостоятельного решения.
Ну вот, мешок с подарками пуст, надеюсь все остались довольны. Хотя, честно, Новый Год не люблю, сегодня вычитал на Анекдоте.ру меткий афоризм: 10 дней праздников обычно проводишь либо без всякой пользы либо с большим вредом.
Удачной вам сессии!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: Данное ДУ является уравнением Бернулли. Найдем общее решение.
Проведем замену:
Получено линейное неоднородное уравнение, замена: .
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Обратная замена:
Общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ: частное решение:
Красиво.
Пример 3: Решение:
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли, разделим обе части на :
Проведем замену:
Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Обратная замена:
Общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ: частное решение:
Пример 5: Решение: Данное уравнение является уравнением Бернулли.
Очевидно, что является решением данного уравнения.
Замена:
В полученном линейном неоднородном уравнении, проведем замену:
Решим систему: .
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Общее решение:
Обратная замена:
Ответ: общее решение ; ещё одно решение:
Пример 7: Решение:
Данное ДУ является уравнением Бернулли.
Проведем замену:
Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Обратная замена:
Частное решение, соответствующее начальному условию , можно найти прямо из общего интеграла . Для этого вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» – единицу:
Таким образом, частное решение:
Частное решение также выясняется и более «привычным» способом через общее решение .
Ответ: частное решение: