Вероятность и основные правила ее вычисления

I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются законы, управляющие случайными явлениями. Например, мы подбрасываем монету. Заранее предсказать, какой стороной она выпадет – гербом или решеткой – нельзя; сколько изделий будет забраковано ОТК завода – также заранее сказать нельзя и т. д. Приведенные примеры относятся к области случайных явлений, и в каждом из них исход заранее не предсказуем.

Возникновение теории вероятностей обычно относят к XVII веку и связывают с комбинаторными задачами азартных игр. Изучая ход и результаты различных азартных игр, Б. Паскаль (1623 – 1662), П. Ферма (1601 – 1665), Ч. Гюйгенс (1629 – 1695) в середине XVII века заложили основы классической теории вероятностей. В своих работах они неявно использовали понятия вероятности и математического ожидания случайной величины, хотя явно их не вводили. Только в начале XVIII века Я. Бернулли (1654-1705) формулирует понятие вероятности, а в 1812 году П. Лаплас определяет вероятность случайного события, как отношение числа благоприятствующих случаев появления события к числу всех возможных, при условии, что все случаи равновозможны. Однако, если исходы неравновозможны, то применить это определение вероятности, нельзя. Необходим был новый математический аппарат.

В работах Р. Мизеса (1883 – 1953) рассматривался статистический подход к определению вероятности: за вероятность некоторого исхода опыта принимается число p, к которому приближается частота появления этого исхода. Но это определение оказывается неудобным вследствие того, что последовательность частот появления некоторого исхода опыта при проведении одной серии экспериментов будет отличаться от последовательности частот появления того же исхода при проведении другой серии экспериментов. К тому же мы сможем определить не последовательность частот, а только конечное число элементов последовательности. Получить всю последовательность невозможно.

Другой подход к определению вероятности основан на использовании понятия меры множества. Эта идея была высказана Э. Борелем (1871 – 1956) и развита А. Ломницким (1881 – 1941).

Теоретико-множественная точка зрения при построении теории вероятностей была подробно изложена в монографии А. Н. Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей» в 1933 году. С этого момента теория вероятностей становится строгой математической наукой.

В конце XIX и начале XX века стали появляться более серьезные запросы, вызванные прогрессом естественнонаучного знания, которые привели к бурному развитию теории вероятностей. Эта область знаний и в настоящее время интенсивно развивается. Теория вероятностей дала жизнь самостоятельным математическим дисциплинам – теории случайных процессов, теории планирования эксперимента и теории массового обслуживания.

Вероятность и основные правила ее вычисления

Предметом изучения теории вероятностей являются специфические закономерности, свойственные массовым случайным явлениям посредством построения их математических моделей.

Случайное явление – это такое явление, которое при дублировании одного и того же эксперимента протекает каждый раз несколько иначе. Основные условия эксперимента, определяющие его протекание, остаются неизменными. Второстепенные же изменяются при дублировании эксперимента и вносят случайные различия в их результаты. Потому что как бы точно ни были фиксированы условия эксперимента, невозможно достичь того, чтобы при его повторении результаты полностью и в точности совпадали. В связи с различными результатами эксперимента при его дублировании, необходимо исследовать природу и структуру случайных воздействий на эксперимент. Элемент неопределенности, сложности, многопричинности, присущий случайным явлениям, требует разработки специальных методов для изучения этих явлений. Такие методы и рассматриваются в теории вероятностей.

Вопросы для самопроверки

1.Что называют экспериментом?

2.Какие бывают эксперименты?

3. Какой эксперимент называется случайным?

4.Что называют элементарным событием?

5.Как обозначается элементарное событие?

6.Что называют пространством элементарных событий?

7.Как обозначается пространство элементарных событий?

8.Какое событие называют достоверным в данном эксперименте?

9. Какое событие называют невозможным в данном эксперименте?

10.Какое событие называют случайным в данном эксперименте?

11. Постройте пространство элементарных событий для эксперимента, состоящего в однократном подбрасывании двух игральных кубиков.

Вопросы для самопроверки

1. Какие события называют совместными в данном эксперименте?

2. Какие события называют несовместными в данном эксперименте?

3. Какие события называют противоположными?

4. Какие события называют равновозможными?

5. Какие события образуют полную группу событий?

6. Что представляет собой полная группа событий при подбрасывании

одной монеты?

7. Как определяется объединение (сумма) двух (или более) событий?

8. Как обозначают объединение (сумму) двух (или более) событий?

9. Приведите примеры объединения (суммы) двух событий.

10. Что называют пересечением (произведением) двух (или более) событий?

11. Приведите примеры пересечения двух событий.

12. Что называют разностью двух событий?

13. Приведите примеры разности двух событий.

14. Как можно представить любое событие?

15. Представьте соотношения между событиями при помощи диаграммы Венна.

16. Какие элементы определяются вначале при построении вероятностной модели случайного эксперимента?

17.Как определяется класс событий?

18.Какие события образуют алгебру , алгебру А событий?

1.3. Вероятность. Методы вычисления вероятностей

Определение вероятности как функции множества.Пусть пространство элементарных событий произвольное множество какого-либо эксперимента. Выделим систему подмножеств множества , образующих алгебру .

Если задано множествоW и алгебра его подмножеств, то говорят, что задано измеримое пространство áW, ñ.

Для того, чтобы формализовать какую-либо вероятностную задачу, надо для соответствующего эксперимента построить измеримое пространство áW, ñ, где W означает множество всех элементарных исходов эксперимента, а алгебра выделяет класс событий. Все остальные подмножества W, не входящие в , событиями не являются.

Выделение алгебры событий обусловлено, с одной стороны, существом рассматриваемой задачи, с другой стороны – природой множества W.

Значение неотрицательной функции на -алгебре множеств называется мерой, если она счетно-аддитивна, т. е. для счетного числа непересекающихся множеств и .

Определим на пространстве áW, ñ числовую характеристику или вероятностную меру m(A) для измерения объективной возможности наступления события AÎ . (Значение неотрицательной функции на -алгебре множеств называется мерой, если она счетно-аддитивна, т. е. для счетного числа непересекающихся множеств и .Значение называется мерой множества .) Эту числовую характеристику на множествах будем определять таким образом, чтобы она удовлетворяла условиям:

1. ;

2. ;

3. , в частности, .

Функции множеств, удовлетворяющие условию 3, называются счетно-аддитивными ( аддитивными) или, в частности, аддитивными мерами.

Определение 1.3Вероятностью события A называется числовая неотрицательная функция P(A), определенная на s-алгебре измеримого пространства áW, ñ и удовлетворяющая следующим аксиомам:

Аксиома 1. Для любого события AÎ вероятность события P(A) удовлетворяет неравенству: .

Аксиома 2. Вероятность наступления достоверного события W равна единице: P(W)=1.

Аксиома 3. Вероятность объединения счетного множества попарно несовместных событий , , ( при ), равна сумме их вероятностей:

. (1.1)

Эквивалентным аксиоме 3 будет требование аддитивности (1.1) для конечного числа событий и следующая аксиома непрерывности.

Аксиома 3'. Пусть последовательность {B_n} событий такова, что и , тогда P(B_n) ® P(B) при n ® , т. е. .

Из аксиом 1 – 3 следует, что вероятность P(A), определенная на множестве , соответствует любому событию AÎ и вероятность P(A), характеризующая степень объективной возможности наступления события A, представляет собой неотрицательную меру.

Соответствие между событиями A множества событий и их вероятностями называют распределением вероятностей на измеримом пространстве áW, ñ.

Тройка áW, ,Pñ называется вероятностным пространством и задание вероятностного пространства есть задание счетно-аддитивной неотрицательной меры на измеримом пространстве, такой, что мера W равна 1.

В таком виде аксиоматика теории вероятностей была сформулирована А.Н. Колмогоровым.

Определение 1.4. Пространство элементарных событий W с выделенной в нем s-алгеброй и определенной на измеримом пространстве вероятностной мерой P(A), , называется вероятностным пространством и обозначается áW, ,Pñ.

Построение вероятностного пространства áW, ,Pñ является основным этапом при создании математической модели изучаемого эксперимента.

Если пространство элементарных событий конечно или счетно, то распределение вероятностей можно определить вероятностями элементарных событий. В общем случае распределение вероятностей определяется функцией , заданной на элементах множества .

При введении понятия вероятности отмечалось, что каждому событию AÎ соответствует количественная характеристика , называемая вероятностной мерой и характеризующая степень объективной возможности наступления этого события . Эта характеристика должна удовлетворять аксиомам Колмогорова. В определении не указывались способы задания вероятностной меры.

Под заданием вероятностной меры будем понимать правила определения вероятностей наступления некоторых базовых событий. Вероятности наступления других событий будут определяться по заданным вероятностям базовых событий, теорем и свойств вероятностной меры. При этом различные методы задания вероятностей будут характеризовать закономерности рассматриваемого вероятностного эксперимента.

Классический (лапласовский) метод задания вероятности. Элементы комбинаторики. Рассмотрим случайный эксперимент, пространство элементарных событий которого содержит конечное число элементов w: и все элементарные события w_i равновозможны. Понятие равновозможности всех элементарных событий w_i, i = 1, 2, .., n, означает, что в результате реализации эксперимента может произойти одно и только одно из n событий. Понятие равновозможности основано на симметрии условий эксперимента. Например, бросание симметричной монеты или симметричной игральной кости обладают симметрией, обеспечивающей равновозможность исходов. Как правило, такая симметрия присуща искусственно организованным экспериментам. Типичными примерами таких экспериментов являются азартные игры. С анализа таких игр и началось развитие теории вероятностей.

Несовместные и равновозможные элементарные события w_iÎ W называют случаями, а об эксперименте говорят, что он сводится ксхеме случаев. Пусть W = { }, и все элементарные события равновозможны.

Зададим на W числовую неотрицательную функцию P такую, что . Это значит, что функция P задает на W распределение вероятностей. Поскольку все элементарные события равновозможны и , то вероятности элементарных событий равны друг другу и равны , т.е. P(w₁) = P(w₂) = … = P(w_n) = .

Этот метод задания вероятностей называется классическим или лапласовским.

При классическом методе задания вероятностей, вероятность любого события A Í W, вычисляется по формуле

, (1.2)

где – число элементарных событий, входящих в A, а – общее число элементарных событий пространства W.

Таким образом, чтобы найти вероятность любого события A Í W, нужно подсчитать все элементарные события w, входящие в A, которые мы назовем благоприятствующими или благоприятными появлению событию A и все элементарные события, входящие в пространство W (все элементарные события являются равновозможными событиями).

Покажем, что функция , определенная по формуле (1.2), удовлетворяет аксиомам 1 – 3 Колмогорова.

1. Для любого события , так как и неотрицательные числа.

2. , так как =1.

3. Если события несовместны, то вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих событий, равна сумме их вероятностей, т.е. . Покажем это. Рассмотрим в пространстве элементарных событий два события и : , . Они не имеют общих элементарных событий, так как несовместны. Тогда по определению объединения событий, событие наступит, если произойдет хотя бы одно элементарное событие . Вероятность этого события, по формуле (1.2), равна .

Предположим далее, что аксиома 3 справедлива для события, т. е. .

Вводя обозначение , где , и пользуясь доказанным утверждением для двух событий, получим: , что и требовалось доказать.

Таким образом, при классическом определении вероятностей аксиомы Колмогорова выполняются.

Пример 1.6.На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи – белую и черную. Какова вероятность того, что ладьи не побьют друг друга?

Решение. Пространство элементарных событий W состоит из элементарных событий ={случайная расстановка двух ладей}. На шахматной доске 64 клетки. Поэтому число способов , расставить две ладьи, равно произведению = 64´63 (первую ладью мы можем установить 64-мя способами, а вторую 63-мя способами, так как одна клетка будет занята).

Пусть A – событие, состоит в том, что ладьи не побьют друг друга. Они не побьют друг друга, если не будут расставлены на одной линии. Поэтому, если первая ладья установлена, то из рассмотрения должны быть исключены 8 +7 = 15 клеток и, следовательно, для установки второй ладьи остается 49 клеток. Значит, событию A будут благоприятствовать = 64´49 элементарных событий.

Воспользовавшись формулой (1.2), получим:

.

Ответ: вероятность того, что при случайной расстановке на доске две ладьи не побьют друг друга, составляет, примерно, 0,78.

Для вычисления числа элементарных событий m и n применяются формулы из области математики, называемой комбинаторикой.

Комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствие с заданными правилами.

Каждое правило комбинаторики определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Простейшими примерами комбинаторной конфигурации являются размещения, перестановки и сочетания.

Размещения. Множества, у которых указан порядок элементов, называют упорядоченными. Тогда множества, состоящие из одних и тех же элементов, но различающиеся порядком их расположения, будем считать различными. Например, если множество M состоит из трех элементов M = {a, b, c}, то можно образовать множества {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a} , образованные из элементов a, b, c и отличающиеся друг от друга порядком их расположения. Размещением без повторений или просто размещением из n элементов по элементов называется упорядоченное множество, состоящее из элементов с учетом их расположения. Размещения, состоящие из одних и тех же элементов, но различающиеся расположением элементов, считаются разными. Число размещений из n элементов по элементов вычисляется по формуле:

.

Например, чтобы определить, сколькими способами можно выбрать из 10 кандидатов 3 человека на 3 вакантные должности, нужно найти число размещений из 10 по 3. Тогда , то есть выбор из 10 кандидатов на три должности можно произвести 720 способами.

Пример 1.7. Рассмотрим эксперимент, состоящий в выборе без возвращений 4 букв из 10 первых букв русского алфавита и записи слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что наудачу составленное слово будет оканчиваться буквой ?

Решение. Элементарное событие ={слово, составленное из выбранных букв}, . Число всех слов равно числу упорядоченных множеств из четырех элементов, составленных из элементов множества, содержащего 10 элементов, то есть равно числу размещений: .

Введем событие A ={наудачу составленное слово из 4 букв оканчивается буквой }. Число элементарных событий, благоприятствующих появлению события A, равно числу способов разместить на три оставшиеся места по одной букве из 9 оставшихся (буква исключена из рассмотрения), то есть числу размещений: .

Воспользовавшись классической формулой (1.2), получим искомую вероятность:

.

Ответ:вероятность того, что наудачу составленное слово будет оканчиваться буквой равна 0,1.

Если выбор элементов из множества, состоящего из элементов, производится с возвращением и с упорядочением их в последовательную цепочку, то различными исходами будут всевозможные – элементные наборы, отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их следования.

Полученные в результате множества называютсяразмещениями с повторениями, а их число определяется формулой .

Пример 1.8. Пять человек вошли в лифт на первом этаже 9-этажного дома. Считая, что любой пассажир может с равной вероятностью выйти на 2-м, 3-м, ..., 9-м этажах, найти вероятность того, что все пассажиры выйдут на одном этаже.

Решение. Элементарное событие w данного эксперимента – комбинация выхода пяти пассажиров из лифта. Так как каждый пассажир может выйти из лифта на любом из 8-ми этажей независимо от другого, то он может выйти из лифта восемью способами. Столько же способов выйти из лифта существует для каждого пассажира. Поэтому число элементарных событий пространства W равно = 8⁵.

Пусть событие A = {все пассажиры выйдут на одном этаже}. Этому событию благоприятствуют 8 элементарных событий, так как они могут выйти на любом из 8-ми этажей. Тогда

.

Ответ: вероятность того, что все пассажиры выйдут на одном этаже, равна 0,000244.

Перестановки. Перестановками из n элементов называются такие размещения из n элементов, которые различаются только расположением элементов. Число P_n перестановок из n элементов можно найти по формуле:

.

Например, число способов расположения 5 слушателей в ряду из 5 мест,

равно числу перестановок из 5 элементов:

P₅ = 5! = 5×4×3×2×1 = 120.

Сочетания. Сочетаниями из n элементов по k элементов называются такие размещения, каждое из которых содержит k элементов и которые различаются по меньшей мере одним элементом. Число сочетаний из n элементов по k элементов вычисляется по формуле:

.

Сочетания, состоящие из одних и тех же элементов и различающиеся только их расположением, считаются эквивалентными, то есть из двух элементов и можно составить только одно сочетание ( ). Тогда, если из каждого сочетания образовать все возможные перестановки, то получим все возможные размещения из элементов по элементов:

,

откуда

.

Можно доказать, что для сочетаний справедлива формула

,

которая во многих случаях упрощает процесс вычислений.

Свойства сочетаний.

1. . 2. . 3. . 4. .

Пример 1.9. На оптовой базе имеется 40 телевизоров, среди которых 3 телевизора имеют некондиционные параметры. В розничную продажу отправляется 10 телевизоров. Найти вероятность того, что один из отобранных телевизоров не соответствует стандарту.

Решение. Пространство элементарных событий W состоит из равновозможных событий , где w_i ={выбор 10 телевизоров из 40}. Число выборов 10 телевизоров из 40 определяется числом сочетаний . Событие A ={выбор 10 телевизоров, из которых один некондиционный}. Для того, чтобы произошло событие A нужно один телевизор выбрать из 3 некондиционных и 9 из соответствующих стандарту. Число таких выборов определяется также числом сочетаний .

Воспользовавшись формулой (1.2), найдем вероятность события A:

.

Ответ: вероятность того, что среди отобранных 10 телевизоров окажется один некондиционный, равняется P(A) = 0,44.

Если эксперимент состоит в выборе с возвращением m элементов множества, состоящего из n элементов, но без последующего упорядочения, то различными исходами такого опыта будут всевозможные m-элементные множества, отличающиеся составом. Получающиеся в результате данного эксперимента комбинации, называются сочетаниями с повторениями, и их число N определяется формулой:

.

Пример 1.10. В библиотеке имеются книги по 20 разделам науки. Поступили четыре заказа на литературу. Считая, что любой состав заказанной литературы равновозможен, найти вероятность того, что: 1) заказаны книги из различных разделов; 2) заказаны книги из одного и того же раздела науки.

Решение. Элементарное событие данного эксперимента – {четыре заказа на литературу}. Так как состав заказанной литературы может быть любым, то число равновероятных заказов равно числу сочетаний с повторениями из 20 элементов по 4, то есть .

Пусть событие A = {заказаны книги из различных разделов науки}. Число элементарных событий, благоприятствующих событию A, равно числу сочетаний без возвращения четырех элементов из 20, то есть . Тогда

.

Пусть событие B = {заказаны книги из одного и того же раздела науки}. Число элементарных событий, благоприятствующих событию B, равно числу способов выбрать один элемент из 20, то есть . Тогда

.

Ответ: вероятность того, что заказаны книги из разных разделов науки равна 0, 547; вероятность того, что заказаны книги из одного и того же раздела науки равна 0, 0023;

При классическом определении функции предполагается, что пространство элементарных событий конечно (хотя оно может быть и бесконечным) и все элементарные события равновозможны. Если эти условия не выполняются, то применяются другие методы задания функции .

Вычисление вероятностей в случае дискретного пространства элементарных событий. Рассмотрим вероятностный эксперимент, пространство элементарных событий которого конечно или счетно:

или .

В случае дискретного пространства элементарных событий W, как и в классическом случае, базовыми событиями, на которых задается вероятностная мера, являются элементарные события из W.

Зададим на W числовую неотрицательную функцию P, такую, что:

1. P(w₁) = p₁, P(w₂) = p₂, … P(w_i) = p_i, … (все p_i ³ 0);

2. или ;

3. или , то есть функция P являет-

ся счетно-аддитивной функцией. Функция P задает на W распределение вероятностей.

Тогда вероятность любого события A Í W, равна сумме вероятностей элементарных событий, входящих в событие A:

P(A) = . (1.3)

Легко проверить, что функция , найденная по формуле (1.3), удовлетворяет аксиомам Колмогорова 1 – 3.

Действительно,

1) , так как .

2) .

3) Рассмотрим несовместные события Их множество конечно или счетно. Пусть событие содержит элементарных событий, или . Так как события не пересекаются, то событие содержит элементарных событий ( напомним, что конечно или счетно). Так как , то . Отсюда следует, что вероятность объединения событий равна сумме вероятностей несовместных событий: , т. е. аксиома 3 выполняется.

Например, некто стреляет по мишени до первого попадания. Предположим, что попадание в мишень случайно.

Пространство элементарных событий рассматриваемого эксперимента состоит из элементарных событий = {мишень поражена при том выстреле}, при первых выстрелах стрелок промахнулся, и является счетным множеством. Если вероятность того, что мишень поражена при том выстреле, равна , т.е. , то вероятность того, что стрелок израсходовал патронов, вычисляется по формуле .

Мы рассмотрели такие задачи, в которых множество исходов эксперимента состояло из счетного числа элементов множества. Однако легко можно представить себе задачу, где множество всех исходов несчетно. Например, случайное бросание точки на отрезок [T₁, T₂] (эксперимент с измерением температуры) имеет континуум исходов, так как результатом может быть любая точка отрезка. Мы встретимся с большими трудностями, если будем применять известные уже нам методы определения вероятности.

Геометрический метод вычисления вероятностей.Рассмотрим вероятностный эксперимент, пространство элементарных событий W которого содержит несчетное множество элементарных событий w. Элементарные события w будем трактовать как координаты точки, пространство W - как ограниченное множество евклидова пространства R¹, R², R³, а события A Í F – как некоторые области пространства W. Предположим также, что множество W и области A имеют конечную геометрическую меру: длину в R¹; площадь в R²; объем в R³.

Например, предположим, что эксперимент состоит в случайном выборе точки на промежутке [0; 1). Множеством W всех исходов эксперимента в данном случае является множество точек промежутка [0; 1). Фраза "произведено испытание" означает, что выбрана точка w Î W. s-алгебру F образуем из множеств, для которых имеет смысл понятие длины, например из всех измеримых промежутков .

Определим числовую неотрицательную функцию P на множестве всех подмножеств A множества W, таких, что A Î F.

Пусть из множества G = W случайным образом выбирается точка так, что ее выбор из некоторой области g (событие A), содержащейся в G, объективно не имеет преимущества перед выбором точки из любой другой области, содержащейся в G, и не зависит от ее расположения и формы. Тогда вероятность того, что точка выбирается из области g (событие A), вычисляется по формуле:

. (1.3)

В евклидовом пространстве R¹ в правой части формулы (1.3) находится отношение длин, в R² – отношение площадей, в R³ – отношение объемов. Легко показать, что такое задание вероятностной меры удовлетворяет аксиомам Колмогорова 1 – 3.

Продолжим рассмотрение эксперимента, состоящего в случайном выборе точки на полуинтервале [0; 1). Определим вероятность на s-алгебре F так, что вероятность попадания точки на промежуток [a; b) длиной l = b – a не зависит от положения этого промежутка на полуинтервале [0; 1) длиной L = 1 и пропорциональна его длине l =b – a, то есть P(A) = (b – a)/(1 - 0) = l/L = =(b – a). Тогда, P(W) = 1 и 0 £ P(A = [a; b)) £ 1. Более того, для любого конечного множества непересекающихся промежутков вероятность их объединения равна .

Если множество элементарных событий W есть множество в евклидовом пространстве, имеющее конечную геометрическую меру (конечные длину, площадь, объем), и любой области A соответствует вероятность, определяемая по