Особенности неявно заданных функций и их графическое отображение.
Если уравнение кривой F(x, y) = 0 не меняется при замене х на –х, то кривая симметрична относительно оси ординат.
Если уравнение кривой F(x, y) = 0 не меняется при замене у на – у, то кривая симметрична относительно оси абсцисс.
Если уравнение кривой F(x,y)=0 не меняется при одновременной замене х на –х и у на – у, то кривая симметрична относительно начала координат.
Если уравнение кривой F(x,y)=0 не меняется при замене у на х, а х на у, то кривая симметрична относительно биссектрисы у=х.
Точки пересечения кривой F(х, у)=0 с осями координат.Точки пересечения с осью абсцисс — это решения системы уравнений
Точки пересечения с осью ординат — это решения системы уравнений
Другие точки графика.
Для более точного построения графика кривой F(x, у) иногда полезно найти отдельные точки этой кривой, не лежащие на координатных осях. Такие дополнительные точки целесообразно искать как точки пересечения кривой с прямыми у=kx при различных значениях k.
Если уравнения кривой F(х, у)=0 можно преобразовать к виду
то координаты точек пересечения, кривых
удовлетворяют уравнению начальной кривой и, следовательно, принадлежат ей.
Асимптоты кривой F(х, у)=0.
Для нахождения горизонтальных асимптот кривой F(х, у)=0 приравнивают нулю коэффициент при высшей степени х, входящей в уравнение; причем если этот коэффициент — постоянная величина, то горизонтальных асимптот нет.
Для нахождения вертикальных асимптот кривой F(х, у)=0 приравнивают нулю коэффициент при высшей степени у, входящей в уравнение этой кривой.
Для нахождения наклонных асимптот кривой F(х, у)=0 надо в уравнении кривой заменить у на kx + b, приравнять нулю коэффициенты при двух высших степенях х и полученную систему решить относительно k и b.
Параметрически заданная функция.
Функция задана параметрически, если каждая координата x и y является функцией некоторой переменной t
где t – параметр, .
В этом случае исследование и построение графика функции проводятся также, как для функции, заданной уравнением Сначала строят графики функций и соответственно в системах координат . Учитывая графическое изображение функций и , исследуют функцию .
Особенности параметрически заданных функций и их графическое отображение.
График симметричен относительно оси ординат Oy, если при замене переменной t на –t не меняется значение у, а х переходит в –х.
График функции симметричен относительно оси абсцисс, если при замене переменной t на –t не меняется значение х, а у переходит в –у;
Период функции определяется по периодам функций и .
Точки пересечения с осями координат.
Для нахождения точек пересечения графика функции с осью абсцисс надо найти те значения t, при которых у=0 (решаем уравнение и находим соответствующее значение ; аналогично находим точки пересечения с осью ординат.
Другие точки графика.
Иногда целесообразно определять точки пересечения графика с биссектрисами координатных углов у=х и у= -х, для чего решают соответственно уравнения
,
откуда находят значения t и для них значения функций , которые при найденных t и дадут координаты искомых точек.
В простейших случаях можно строить графики параметрически заданных функций по точкам.
Задания.
№ 1. Исследовать асимптоты кривой
- х2у2 + у4 — 16х2 = 0.
Решение.
Переписываем уравнение в виде
(у2 — 16) х2 + у4 = 0.
Приравниваем нулю коэффициент при х2:
у2 — 16 = 0,
откуда у – 4 = 0 и у + 4 = 0 — горизонтальные асимптоты рассматриваемой кривой.
- Зу2 — ху2 — 5х2у = 0
Решение.
Действительно, переписываем уравнение в виде
(З — х)у2 — 5х2у = 0,
откуда 3 — х = 0 вертикальная асимптота, у= 0 - горизонтальная асимптота.
- х3 + у3 – 3х2 = 0
Решение.
Ищем наклонные асимптоты.
заменяем в уравнении кривой у на kx + b:
х3 + (kx + b)3 – 3х2 = 0,
(1+k3)х3 + 3(bk2-1)х2 - 3bkx– 3х2 = 0.
Решаем систему
Откуда k= —1, b= 1. Следовательно, у = -x + 1 — наклонная асимптота рассматриваемой кривой.
№ 2. Исследовать и построить график неявно заданной функции
1.
Решение.
Для нахождения области определения неявно заданной функций решаем заданное уравнение относительно у. Получаем
и
т. е. имеем две ветви кривой. В области определения обеих ветвей должно выполняться неравенство
или
справедливое для . Для точек второй ветви необходимо, чтобы , или что возможно лишь при условии
Следовательно, область определения первой ветви: , область определения второй ветви: [—1; 1].
Кривая симметрична относительно осей координат. Горизонтальных и вертикальных асимптот она не имеет, поскольку коэффициенты при высших степенях х и у в уравнении постоянные. Находим наклонные асимптоты. Имеем
Приравниваем нулю коэффициенты при x4, х3 и получаем
откуда k = ± 1, b = 0.
Следовательно, прямые у = х и у = -х - наклонные асимптоты рассматриваемой кривой.
Рассмотрим несколько дополнительных точек кривой. Для этого решим систему уравнений
при различных значениях k:
Эскиз графика представлен на рис. 320.
2.
Решение.
Построить график функции
Решаем уравнение относительно y:
Функция определена при х 1. Кривая симметрична относительно оси абсцисс. Кривая асимптот не имеет.
Для построения графика верхней ветви кривой записываем функцию с помощью промежуточного аргумента t:
По графикам этих функций строим график верхней ветви кривой, а отобразив последнюю относительно оси абсцисс, получим график и нижней ветви кривой (рис. 321).
3.
№ 3. Исследовать и построить график параметрически заданной функции
1.
Решение.
Составим таблицу значений:
t | -1 | -2 | -3 | ||||
x | |||||||
y | -1 | -8 | -27 |
Построив найденные точки (x; у), получим искомую кривую.
Решение.
В системе координат tOх строим график функции (рис. 2, а), а в системе координат tOy — график функции (рис. 2, б).
Теперь проводим исследование функции у=у(х).
Область определения (см. рис. 2, а): (-∞; ∞). Область значений (см. рис. 2, б):(- ∞; 1].
Поскольку y(-t)=y(t), то t=0, т. е. x=1 - ось симметрии. Предельные значения функции:
Точки пересечения с осями координат:
а) с осью ординат; решаем уравнение х=0, т.е. 1-t=0,откуда t=1; значение функции при t=1 равно у=0; следовательно, график функции у=у(х) пересекает ось ординат в точке (0; 0);
б) с осью абсцисс; решаем уравнение y=0, т. е. , получаем t= , соответственно , ; точки пересечения графика функции у = у(х) с осью абсцисс: О(0;0), С (2;0).
Точки пересечения с биссектрисами координатных углов:
а) с биссектрисой y=x; решаем уравнение откуда ; следовательно, график функции y=y(x) пересекает биссектрису y=x в точках D(1;1) и O(0;0);
б) с биссектрисой y= -x; решаем уравнение или откуда ; следовательно, с биссектрисой y= -x график функции y=y(x) пересекается в точках О(0;0) и Е(3;-3).
Теперь выполняем построение графика функции у=у(х): проводим прямую у= 1 (график функции у = у (х) располагается ниже этой прямой), далее обозначим точки пересечения графика функции у = у (х) с осями координат и биссектрисами координатных углов: О, С, D, Е. График функции представлен на рис. 2, в.
3.
4.
5.
- х= 2аcost—acos2t, у=2аsin t—asin 2t (кардиоида)
Решение.
Строим графики функций х = 2а cost—acos2t,у=2а sint—asin2t.
Исследуем функцию y=y(x). Область определения функции: [—За; а]. Область значений функции: [—2а; 2а]. График функции симметричен относительно оси абсцисс. Поскольку функции х = 2а cost—acos2t, у=2а sint—asin2t периодические с периодом 2π, то и функция y=y(x) периодическая с периодом 2π. Предельные значения функции у=у(х) на концах отрезка [0; 2] равны нулю. График представлен на рис. 276.
Занятие 15.
Тема занятия: «Полярные координаты. Графики функций в полярных координатах.»
План занятия.
- Знакомство с теоретическим материалом.
- Разбор заданий под руководством преподавателя.
Методические материалы.
Полярные координаты.
и