Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

у⁽ⁿ⁾ + p₁ у^(n-1) + p₂ у^(n-2) + … + p_n-1 у´ + p_n у = q(x), (19)

где p₁, p₂, … , p_n – некоторые постоянные.

Его частное решение можно получить методом вариации произвольных постоянных. Однако, когда правая часть уравнения (19) имеет так называемый специальный вид, частное решение находится проще.

1. Если q(x) = e^αxP_m(x), где P_m(x) – многочлен m–й степени, то частное решение следует искать в

виде у_частн = x^s e^αxQ_m(x),

где Q_m(x) – многочлен m–й степени с неопределенными коэффициентами; s = 0, если α не является корнем характеристического уравнения; если же α является корнем характеристического уравнения, то s равно кратности этого корня.

2. Если q(x) = e^αx (U_i (x) cosβx + W_j (x) sinβx), где U_i (x), W_j (x) – многочлены степени i и j, тогда

частное решение следует искать в виде

у_частн = x^s e^αx [R_k (x) cosβx + T_k (x) sinβx],

где R_k (x), T_k (x) – многочлены k–й степени (k = max {i, j}) с неопределенными коэффициентами; s = 0, если α + iβ не является корнем характеристического уравнения; если же α + iβ – корень характеристического уравнения, то s – его кратность.

ЗАДАЧИ

1. Решить дифференциальные уравнения:

1.1. y´´ +3у´ = 18x + 9.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение: λ²+3λ = 0. Его корни λ ₁= 0, λ ₂= –3.

Так как α = 0 – корень характеристического уравнения кратности 1, то частное решение ищем в виде

у_частн = x (Ax + B).

Подставим его в уравнение

2A + 3(2Ax + B) = 18x + 9.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Отсюда А = 3, В = 1 и

у_частн = 3х² + х .

Общее решение неоднородного уравнения

у_общ = С₁е^-3х + С₂ + 3х² + х .

1.2. y´´´ – 6у´´ + 9у´ = x е^3х.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение: λ³– 6λ²+9λ = 0 ó λ ( λ²– 6λ +9 ) = λ ( λ – 3 ) ². Его

корни λ ₁= 0, λ ₂= 3, λ ₃= 3.

Так как λ = 3 – корень кратности 2, то частное решение ищем в виде

у_частн = x² (Ax + B) е^3х.

Подсчитаем производные (для краткости опустим индекс _частн) :

y = x² (Ax + B) е^3х.

y´ = 2x (Ax + B) е^3х + Ax² е^3х + 3x² (Ax + B) е^3х = е^3х (2Ax² + 2Bx + x² + 3Ax³ + 3Bx²) = е^3х (3Ax³ + 3Ax²+ 3Bx² + 2Bx).

y´´ = 3е^3х (3Ax³ + 3Ax²+3Bx² + 3Bx² + 2Bx) + е^3х (9Ax² + 6Ax + 6Bx +2B ) = е^3х (9Ax³ +18Ax² + 9Bx² + 6Ax + 12Bx +2B ).

y´´´ = 3е^3х (9Ax³ +18Ax² + 9Bx² + 6Ax + 12Bx +2B ) + е^3х (27Ax² +36Ax + 18Bx + 6A + 12B) =

= е^3х (27Ax³ +81Ax² + 27Bx² + 54Ax + 54Bx + 6A +18B ) .

Подставим их в уравнение:

е^3х (27Ax³ +81Ax² + 27Bx² + 54Ax + 54Bx + 6A +18B ) – 6 е^3х (9Ax³ +18Ax² + 9Bx² + 6Ax + 12Bx +2B ) + 9 е^3х (3Ax³ + 3Ax²+ + 3Bx² + 2Bx) = х е^3х .

Сокращаем левую и правую части на е^3х и приводим подобные члены. Имеем:

0·Ax³ +0·Ax² + 0·Bx² + (18A + 0·B) x + 6A + 6B = x => 0·x³ + 0·x² + 18A·x + (6A + 6B).= x

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Отсюда А = , В = – и

у_частн = (х³ – х²) е^3х .

Общее решение неоднородного уравнения

у_общ = С₁ + С₂ е^3х + С₃ x е^3х + (х³ – х²) е^3х.

1.3. y´´ +2у´ + y = cos x.

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение: λ²+2λ + 1 = 0. Его корни λ ₁= λ ₂= –1.

Правую часть можно записать так: cos x = e^0·x (1 · cos x + 0 · sin x) Так как α = 0 не является корнем

характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

у_частн = A cos x + B sin x.

Подсчитаем производные (для краткости опустим индекс _частн) :

у = A cos x + B sin x.

y´ = – A sin x + B cos x,

y´´ = – A cos x – B sin x,

Подставим их в уравнение

– A cos x – B sin x + 2(– A sin x + B cos x) + A cos x + B sin x = cos.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях cos x и sin x в левой и правой частях уравнения:

или

Отсюда А = 0, В = и

у_частн = sin x.

Общее решение неоднородного уравнения у_общ = С₁е^-х + С₂ х е^-х + sin x.

1.4. y´´ + у = 4х^ех.

1.5. y´´ + у = 4 sin x.

1.6. y´´ – 2у´ – 3у = е^4х.

1.7. y´´ + 2у´ – 3у = x² е^х.

1.8. y´´ + 4у´ + 4у = x е^2х.

1.9. y´´ – у = 2 е^х – x².

1.10. y´´´ + у´´ = 6x + е^–х.

1.11. y´´´´ + 5у´´ + 4у = 3sin x.

2. Записать ожидаемый вид частного решения уравнения

2.1. у′′ + 3у′ = –2 + (2 – х) е ^–х + 3sin x + 5x².

Р е ш е н и е. Правая часть представляет собой сумму трех функций специального вида: f₁(x) = 5x² – 2,

f₂(x) = (2 – х) е ^–х, f₃(x) = 3sin x. Характеристическое уравнение k² + 3k = 0 имеет корни k₁ = 0, k₂ = –3. Следовательно,

для f₁(x) ожидаемый вид частного решения у_ч1 = х ∙ (ax² + bx + c), т.к. f₁(x) = е^{0 ∙ x} (5x² – 2). Здесь 5x² – 2 – полином 2-й степени. Умножаем на х потому, что 0 является корнем характеристического уравнения;

для f₂(x) ожидаемый вид частного решения у_ч2 = е ^–х (dx + g);

для f₃(x) = 3sin x = е^{0 ∙ x} (0 ∙ cos x + 3sin x) ожидаемый вид частного решения у_ч3 = u cos x + v sin x.

По теореме о наложении решений ожидаемый вид частного решения имеет вид:

у_ч = у_ч1 + у_ч2 + у_ч3 = х ∙ (ax² + bx + c) + е ^–х (dx + g) + u cos x + v sin x .

2.2. y′′ + 5y′ + 6y =3х²е ^х – хе ^–3х + 2х sin 2x.

2.3. y′′ + 2y′ + 2y =3х²е ^–х – хе ^–хsin x.

2.4. y′′ + 2y′ + y = х²sin x + 4 + 5х е ^–х .

3. Решить уравнение

3.1. у′′ – 2у′ + 5у = х е ^х cos2x + x² – x + 2.

Р е ш е н и е. Общее решение соответствующего однородного уравнения у′′ – 2у′ + 5у = 0 имеет вид

(проверьте!)

у_оо = (С₁cos 2x + С₂ sin 2x) е ^х .

В соответствие с теоремой о наложении решений данное дифференциальное уравнение представим в виде совокупности двух уравнений:

Частное решение первого уравнения ищем в виде

у_ч1 = x[(Ах + В) cos 2x + (Cх + D) sin 2x] е ^х ,

т.к. α ± β i = 1 ± 2i – корень характеристического уравнения k² – 2k + 5 = 0, k = 1 ± 2i .

Соответствующие вычисления (проведите самостоятельно) дают у_ч1 = x ( cos 2x + х sin 2x) е ^х.

Частное решение второго уравнения ищем в виде у_ч2 = Аx² + Вx + С, и, после нахождения А, В и С,

у_ч2 = x² – x + .

Общее решение исходного уравнения имеет вид

у = у_оо + у_ч1 + у_ч2 = (С₁cos 2x + С₂ sin 2x) е ^х + x ( cos 2x + х sin 2x) е ^х + x² – x + .

3.2. y′′ – 2y′ + y = х² – х + 3 +2хcos x + sin x.

3.3. y′′ + 5y′ + 6y =(x – 2) е ^–3х + х² + 2х – 3.

3.4. y′′ + 6y′ + 10y =(x + 6) cos 3x – (18x + 6) sin 3x + 2х е ^–3х cos x.

3.5. y′′ + 9y = е ^–3х (x – 2) + 14 + 63 х².

3.6. y′′ – 2y′ + y = sin x + е ^х – е ^–х.