Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

y||+py|+qy=f(x) (1)

Оно отличается от соответствующего линейного однородного уравнения

y||+py|+qy=0 (2)

наличием в правой части некоторой функции f(x).

Для нахождения общего решения уравнения (1) сначала нужно найти общее решение Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru уравнения (2), а затем найти какое-либо частое решение y* уравнения (1). Их сумма есть общее решение данного неоднородного уравнения (1):

y= Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru + y*.

Рассмотрим два метода нахождения частного решения.

Метод неопределенных коэффициентов.Если правая часть уравнения (1) имеет вид

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru (3)

где a и b -действительные числа, а Pn(x) и Qm(x) – многочлены соответственно n-й и m-й степени с действительными коэффициентами, то частное решение y* уравнения (1) ищется в виде

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru (4)

где Ms(x) и Ns(x) – многочлены s-й степени (s – наибольшая из степеней n и m) с неопределенными буквенными коэффициентами, а k – кратность, с которой Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru входит в число корней характеристического уравнения r2+pr+q=0, соответствующего однородному дифференциальному уравнению (2).

Для того, чтобы найти коэффициенты многочленов Ms(x) и Ns(x), искомое частное решение (4) подставляют в левую часть дифференциального уравнения (1) и производят соответствующие упрощения; затем в полученном тождестве приравнивают коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях, что дает систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов, из которой определяют эти коэффициенты.

Укажем вид частного решения y* для некоторых частных случаев функции (3):

1) если a=0, b=0 (т.е. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru =0), то f(x)=Pn(x) и частное решение ищется в виде

y*=xk(A0xn+A1xn-1+…+An),

где k – кратность, с которой нуль входит в число корней характеристического уравнения;

2) если b=0 (т.е. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru =a), то Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и частное решение ищется в виде

y*=xk Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru (A0xn+A1xn-1+…+An),

где k – кратность, с которой a входит в число корней характеристического уравнения;

3) если a=0, n=m=0 (т.е. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru = Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ), то Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и частное решение ищется в виде

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

где k – кратность, с которой Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru входит в число корней характеристического уравнения.

В том случае, если правая часть уравнения (1) есть сумма функций вида (3), т.е.

f(x)=f1(x)+f2(x)+…+fr(x),

нужно предварительно найти частные решения Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru соответствующие функциям f1(x),f2(x),…,fr(x). Тогда частное решение уравнения (1) запишется в виде

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru (5)

Метод вариации произвольных постоянных.Более общим методом решения линейного неоднородного уравнения (1) является метод вариации произвольных постоянных.

Пусть y1 и y2 – линейно независимые частные решения однородного уравнения (2). Тогда общее решение неоднородного уравнения (1) следует искать в виде

y=C1(x)y1+C2(x)y2, (6)

где функции C1(x) и C2(x) определяются из системы уравнений

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru (7)

Решая систему алгебраических уравнений (7), находим

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru (8)

где

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru (9)

- определитель Вронского, составленный для решений y1 и y2.

Интегрируя равенства (8), получаем

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru (10)

откуда, подставляя найденные функции C1(x) и C2(x) в соотношение (6), получим общее решение линейного неоднородного уравнения (1).

Наши рекомендации