Переходная функция по напряжению
Переходная функция по напряжению наиболее часто используется при анализе четырехполюсников.
Если линейную электрическую цепь с нулевыми начальными условиями подключить к источнику постоянного напряжения 
, то между произвольными точками m и n цепи возникнет напряжение
,
где 
- переходная функция по напряжению, численно равная напряжению между точками m и n схемы при подаче на ее вход постоянного напряжения 
.
Переходную проводимость 
и переходную функцию по напряжению можно найти расчетным или экспериментальным (осциллографирование) путями.
В качестве примера определим эти функции для цепи на рис. 4.
В этой схеме
,
где 
.
Тогда переходная проводимость
.
Переходная функция по напряжению
.
Литература
- Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
- Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
- Как в формуле разложения учитываются при наличии источника синусоидальной ЭДС источники других типов, а также ненулевые начальные условия?
- Как целесообразно проводить расчет переходных процессов операторным методом в сложных цепях при синусоидальном питании?
- Проведите сравнительный анализ классического и операторного методов.
- Какие этапы включает в себя операторный метод расчета переходных процессов?
- Из формулы включения на какое напряжение вытекают другие варианты ее записи? Запишите формулы включения.
- В каких случаях применяются формулы включения?
- Чему численно соответствуют переходная проводимость и переходная функция по напряжению?
- На основании решения задачи 7 в задании к лекции № 27 с использованием формулы разложения определить ток в ветви с индуктивным элементом, если параметры цепи:
.
Ответ: 
.
- С использованием формулы включения найти ток
в неразветвленной части цепи на рис. 5,
 | если :   ;  ;  . |
Ответ:  . |
Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости или (и) переходную функцию по напряжению , можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода – метода расчета с помощью интеграла Дюамеля – лежит принцип наложения. При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как  , а вторую - как t.  Пусть в момент времени  к цепи с нулевыми начальными условиями (пассивному двухполюснику ПДна рис. 1) подключается источник с напряжением  произвольной формы. Для нахождения тока  в цепи заменим исходную кривую ступенчатой (см. рис. 2), после чего с учетом, что цепь линейна, просуммируем токи от начального скачка напряжения  и всех ступенек напряжения до момента t, вступающих в действие с запаздыванием по времени. В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения , равна  . В момент времени  имеет место скачок напряжения  , который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени t обусловит составляющую тока  . Полный ток в момент времени t равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом , т.е.  . Заменяя конечный интервал приращения времени  на бесконечно малый, т.е. переходя от суммы к интегралу, запишем
Соотношение (1) называется интегралом Дюамеля. Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости Последовательность расчета с использованием
Исходные данные для расчета:
Полученный результат аналогичен выражению тока, определенному в предыдущей лекции на основе формулы включения. Метод переменных состояния Уравнения элекромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи. Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники. Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии. К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования: -независимость уравнений; -возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния) любых других переменных. Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее. Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах. Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других. При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид
Здесь Начальные условия для уравнения (2) задаются вектором начальных значений В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить токи
По законам Кирхгофа для данной цепи запишем
Поскольку
или в матричной форме записи
Матричное уравнение вида (3) вытекает из соотношений (4) и (6):
Вектор начальных значений Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказаться затруднительным. В этой связи используют специальную методику упорядоченного составления уравнений состояния. Наши рекомендации |
. 
(или 
) путем формальной замены t на 
. 
. 
В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в цепи рис. 3, рассчитанный в предыдущей лекции с использованием формулы включения.
, 
, 
.
.
. 
. 
и 
с самими переменными 
и 
и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий.
; 
. 
и 
- столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени; 
- матрица-столбец источников внешних воздействий; 
- столбцовая матрица выходных (искомых) величин; 
- квадратная размерностью n x n (где n – число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби; 
- прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m); 
- прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величин к, а столбцов – n); 
- прямоугольная размерностью к x m матрица связи входа с выходом.
и 
.
; 
; 
. 
с учетом соотношения (6) перепишем уравнения (4) и (5) в виде
.
.
.