Составление матричных соотношений при наличии ветвей с идеальными источниками
В цепи могут иметь место ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС или тока. При записи уравнений без использования матричных соотношений такие ветви не вносят каких-либо особенностей в их составление. Однако, если уравнения записываются по второму закону Кирхгофа в матричной форме или используется матричная форма контурных уравнений, то в матрице сопротивлений ветвей Z ветвям, содержащим идеальные источники тока, будут соответствовать диагональные элементы 
. Поэтому при наличии таких ветвей исходная схема перед составлением уравнений должна быть подвергнута соответствующему преобразованию, иллюстрируемому рис. 3.
Здесь идеальный источник тока 
(см. рис. 3,а) включен между узлами k и n. Подключение к узлам l и m по два одинаковых по величине и противоположно направленных источника тока (см. рис. 3,б) не влияет на режим работы цепи, что указывает на эквивалентность замены исходной цепи на рис. 3,а схемой на рис. 3,б.
Может быть другой случай, когда уравнения в матричной форме записываются по первому закону Кирхгофа или используется матричная форма узловых уравнений, а в цепи имеют место ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС. Для таких ветвей соответствующие им диагональные элементы матрицы Y будут равны 
. Поэтому при наличии таких ветвей исходную схему перед составлением уравнений необходимо подвергнуть преобразованию, поясняемому рис. 4.
Здесь участок исходной цепи (см. рис. 4,а) содержит ветвь с идеальным источником ЭДС 
. Включение в каждую ветвь, соединенную с узлом n, источника с ЭДС, равной , и направлением действия, указанным на рис. 4,б, позволяет (в силу того, что 
) трансформировать исходную цепь в схему, представленную на рис. 4,в.
 |
Литература
- Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А.Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Контрольные вопросы и задачи
- В чем отличие матриц сопротивлений и проводимостей ветвей для цепей с отсутствием и наличием индуктивных связей?
- В чем заключается особенность нумерации ветвей графа при наличии индуктивных связей?
- Какие особенности имеют место при составлении матричных соотношений для цепей, содержащих ветви с идеальными источниками?
- В цепи на рис. 5
; 
; 
; 
; 
; 
. Приняв, что дерево образовано ветвью 1, составить контурные уравнения в матричной форме и определить токи ветвей.
 | Ответ: |
 | |
 |  . |
- Для цепи на рис.5 составить узловые уравнения в матричной форме, на основании которых затем определить токи ветвей.
Ответ:
;
.
 |  |
Выбор того или иного метода расчета электрической цепи в конечном итоге определяется целью решаемой задачи. Поэтому анализ линейной цепи не обязательно должен осуществляться с помощью таких общих методов расчета, как метод контурных токов или узловых потенциалов. Ниже будут рассмотрены методы, основанные на свойствах линейных электрических цепей и позволяющие при определенных постановках задач решить их более экономично. Метод наложения Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными. Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции),который формулируется следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности. Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается соотношением
Здесь Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом Аналогично определяются коэффициенты передачи тока Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов. Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например
где Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i–го контура. Если теперь все контурные ЭДС в (2) заменить алгебраическими суммами ЭДС в соответствующих ветвях, то после группировки слагаемых получится выражение для контурного тока Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложенияследует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются – это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи. В качестве примера использования метода наложения определим ток во второй ветви схемы на рис. 1,а.
Принимая источники в цепи на рис. 1,а идеальными и учитывая, что у идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю, а у идеального источника тока – бесконечности, в соответствии с методом наложения приходим к расчетным схемам на рис. 1,б…1,г. В этих цепях
где Таким образом,
Учитывая, что в структуре пассивного четырехполюсника не содержится источников энергии, на основании принципа наложения для состояния ключа в положении “1” можно записать
При переводе ключа в положение “2” имеем
Тогда, вычитая из уравнения (3) соотношение (5), а из (4)-(6), получим
откуда искомые проводимости
Принцип взаимности Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без доказательства: для линейной цепи ток
будет равен току
Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимностигласит: если ЭДС
В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить ток
Перенесение источника ЭДС
где В соответствии с принципом взаимности ток . Наши рекомендации |
. 
- комплекс входной проводимостиk – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях; 
-комплекс взаимной проводимостиk – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.
, что непосредственно вытекает из свойства взаимности (см. ниже).
, которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.
, то получим
, 
- определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов; 
- алгебраическое дополнение определителя 
.
-й контур, т.е. контурный ток 
h-й ветви, то принцип наложения справедлив для токов 
; 
; 
,
; 
; 
.
.
В качестве другого примера использования метода определим взаимные проводимости 
и 
в цепи на рис. 2, если при переводе ключа в положение 1 токи в первой и второй ветвях соответственно равны 
и 
, а при переводе в положение 2 - 
и 
.
; 
. 
; 
.. 
;
,
; 
.
в k – й ветви, вызванной единственной в схеме ЭДС 
, находящейся в i – й ветви,
в i – й ветви, вызванному ЭДС 
, численно равной ЭДС 
.
(см. рис. 3,а), то принесенная в эту ветвь ЭДС 
, 
.