Дифференцирование функции одной

ПЕРЕМЕННОЙ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО

О п р е д е л е н и е 16.Пусть функция определена на некотором множестве и существует такая функция определенная на некотором множестве что и выполняется равенство: Тогда функция называется неявной функцией, заданной уравнением

(6)

Т е о р е м а 6.Пусть функция задана неявно уравнением (6), где дифференцируема в точке для которой и Пусть функция дифференцируема в точке Тогда ее производная в точке вычисляется по формуле:

З а м е ч а н и е 10.При выполнении условий теоремы 6 в точке дифференциал функции , заданной неявно уравнением (6), вычисляется по формуле:

П р и м е р 14. Найти производную функции заданной неявно уравнением и вычислить ее значение при

Р е ш е н и е. Обозначив левую часть данного уравнения через найдем частные производные: Тогда, воспользовавшись теоремой 6, получаем:

(7)

Подставим теперь в исходное уравнение и найдем соответствующие значения функции Поэтому по формуле (7) находим:

О т в е т:

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ

ПЕРЕМЕННЫХ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО

О п р е д е л е н и е 17.Если функция определена на некотором множестве и существует такая функция определенная на некотором множестве что , и выполняется равенство то функция называется неявной функцией, заданной уравнением

(8)

Т е о р е м а 7.Пусть функция неявно задана уравнением (8), где дифференцируема в точке для которой и Пусть функция дифференцируема в точке Тогда ее частные производные в точке вычисляются по формулам:

(9)

З а м е ч а н и е 11.При выполнении условий теоремы 7 в точке полный дифференциал функции , заданной неявно уравнением (8), вычисляется по формуле:

П р и м е р 15. Найти частные производные функции заданной неявно уравнением

Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию:

(10)

Тогда уравнение, заданное в рассматриваемом примере, принимает вид (8). Вычислим частные производные функции (10):

Поэтому, воспользовавшись формулами (9) при условии находим:

О т в е т:

ПРИМЕРЫ

Вычислить пределы функций:

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. .

Найти точки разрыва функции:

13. . 14. . 15. . 16. .

17. . 18. . 19. . 20. .

Найти частные производные функции:

21. 22. 23. 24. 25.

26. 27. 28. 29. 30.

31.Показать, чтодля функции выполняется равенство:

32.Показать, что удовлетворяет уравнению:

Вычислить значения частных производных функции:

33. в точке 34. в точке

35. в точке 36. в точке

37.Найти частные производные сложной функции где

38.Найти производную сложной функции где

39.Найти если где

Найти полный дифференциал функции:

40. 41. 42.

43. 44. 45. 46.

47.Найти значение дифференциала функции в точке

Вычислить приближенно число:

48. 49. 50.

Найти если функция задана неявно уравнением:

51. 52. 53. 54. 55.

56. Найти значение производной функции в точке,для которой

О Т В Е Т Ы

1. 1. 2. 0. 3. е.4. 1. 5. . 6. 2. 7. 0. 8. Не существует.

9. . 10. 0. 11. 3. 12. 0. 13. . 14. – линия разрыва.

15. (ось ) – линия разрыва.

16. – конус с вершиной в точке и осью симметрии – поверхностью разрыва.

17. – линия разрыва. 18. Точка – точка разрыва.

19. – линия разрыва. 20. – однополостный гиперболоид с осью симметрии – поверхность разрыва функции.

21. 22.

23. .24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

33. 34.

35. 36.

37.

38. 39.

40. 41. 42.

43.

44. 45. 46.

47. 48 49. 50. 51. 52.

53. 54. 55.

57.

§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ