Решение классическим методом

1.Расчёт режима до коммутации (контакты разомкнуты). Токи в ветвях цепи:

напряжение на конденсаторе

По первому закону коммутации по второму закону коммутации

2.Расчёт принуждённого режима после коммутации (контакты замкнуты).

Токи в ветвях цепи:

3.Расчёт искомого тока и его производной для момента коммутации (t=0).

По законам Кирхгофа составляем уравнения для цепи после коммутации:

; (1)

(2)

. (3)

Используя уравнение (3) для момента t=0 с учётом того, что u_c(0)=0, найдём: i₁(0)= Из уравнения (1) при t=0 вычислим i₃(0)=i₁(0)-i₂(0)=2-1=1A.

Найдём производную искомого тока. Для этого продифференцируем уравнение (3):

Откуда

Следовательно,

.

4. Определение корней характеристического уравнения. Для этого входное сопротивление для цепи (рис. 5) после коммутации в операторной форме приравняем нулю:

Характеристическое уравнение RLCp²+Lp+R=0, или

имеет два корня:

После подстановки численных значений заданных величин получим:

p₁=-200+j200, с^-1; p₂=-200-j200, с^-1.

Так как корни характеристического уравнения получились сопряжёнными комплексными числами, то переходный процесс в электрической цепи будет иметь колебательный характер.

5. Определение постоянных интегрирования и закона изменения во времени искомого тока.

Переходный ток на неразветвлённом участке цепи

а его производная

Находим значения тока и его производной для момента времени t=0:

После подстановки численных значений получим систему двух уравнений

Решая ее, получим А=-2, γ=0. Следовательно, искомый ток

i₁=2-2e^-200tsin200tA.

Для построения графика i₁(t) вычислим мгновенные значения тока для различных моментов времени, начиная от нуля, через каждую миллисекунду в пределах одного периода, который равен Т'=2π/ω'=2 π /200=0,0314с≈30мс. Результаты расчёта сведем в табл.3. График тока i₁(t) построен на рис.6.

Таблица 3

t,с·10-3	200t, рад	e-200t	200t, град	sin 200t	i1=2-2e-200tsin200t, А
	0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 6,0	0,819 0,670 0,549 0,449 0,368 0,301 0,247 0,202 0,165 0,135 0,111 0,091 0,074 0,061 0,050 0,041 0,033 0,027 0,022 0,018 0,0	1,47 22,93 34,40 45,86 57,33 68,80 80,27 91,74 103,21 114,66 126,13 137,60 149,07 160,54 171,99 183,44 194,91 206,38 217,85 229,32	0,199 0,388 0,564 0,717 0,843 0,933 0,986 1,000 0,973 0,909 0,807 0,680 0,517 0,334 0,139 0,061 0,56 0,444 0,613 0,759	1,675 1,481 1,381 1,357 1,380 1,439 1,513 1,596 1,679 1,755 1,821 1,877 1,924 1,960 1,987 2,005 2,016 2,024 2,027 2,028

i₁, A

2

1,5

0,5

t,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 мс

Рис.6

Решение операторным методом

Начальные условия переходного процесса в электрической цепи определены в первом пункте предыдущего расчёта: i₂(0)=1A, u_c(0)=0. С учётом этого составим операторную схему замещения цепи (рис.7) и напишем для неё уравнения по законам Кирхгофа:

I₁(p)

R

Li₂(0)

I₂(p) Lр

I₃(p)

Рис.7

I₁(p)=I₂(p)+I₃(p);

Решив эту систему относительно тока I₁(p), получим:

После подстановки числовых значений получим:

Для нахождения оригинала определим корни знаменателя, для чего приравняем его нулю:

p₁=0; p₂=-200+j200; p₃=-200-j200, с^-1.

Так как знаменатель имеет три корня, то сумма в формуле разложения состоит из трёх слагаемых:

Найдём числители слагаемых:

Производная знаменателя

Подставим вместо p соответствующие корни и получим знаменатели слагаемых:

Полученные значения подставим в формулу теоремы разложения:

Избавляясь от комплексной формы, получим; А:

Пример 2.

Электрическая цепь (рис.8) с сопротивлением R=50 Ом, индуктивностью L=300 мГн и ёмкостью С=100 мкФ включается на синусоидальное напряжение u=1000 sin 314t, В.

Найти закон изменения переходного тока i₁(t). Задачу решить операторным методом.

L

SВ

R

i₂

C

i₁

û

i₃

Рис.8

Решение

Искомый ток найдём по формуле включения для синусоидального напряжения источника при нулевых н.у.

Операторное сопротивление цепи

корни уравнения Z(p)=0

При наличии таких корней оригинал тока i₁(t);

.

Комплексное сопротивление цепи

.

Значения p_k-jω при p_k=p₁, p_k=p₂ будут:

p₁-jω=-100+j52-j314=190e^-j121,7˚;

p₂-jω=-100-j52-j314=476e^-j102,7˚.

Производная операторного сопротивления

При p=p₁=-100+j52; Z^’(p₁)=0,416e^j145,29˚;

при p=p₂=-100-j52; Z^’(p₂)=0,416e^-j145,29˚.

Полученные значения подставим в выражение тока:

После преобразования получим:

i₁(t)=14,4(sin314t+43,8⁰)+

+16,64e^-100tsin(152t-35,62⁰)А.

Мгновенные значения переходных токов рекомендуется определять с помощью компьютера.

Список рекомендуемой литературы

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. – 9-е изд. - М.: Высш. шк., 1996. – 638 с.

2. Зевеке Г.В. и др. Основы теории цепей. – М.: Энергия , 1975. – 752 с.

3. Шебес М.Р. Теория линейных цепей в упражнениях и задачах. – М.: Высш. шк., 1973. – 655 с.

4. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. – 4-е изд. – М.: Высш.шк., 1990. – 544 с.

5. Теоретические основы электротехники: В 3 ч. Ч.1. Атабеков Г.И. Линейные электрические цепи: Учебн. – 5-е изд. – М.: Энергия, 1978. – 592 с.

6. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: В 2 т.: Учебн. Том 1. – 3-е изд. – Л.: Энергоиздат, 1981. – 536 с.

7. Татур Т.А. Основы теории электрических цепей: Учебн. пособие. – М.: Высш. шк.,1980. – 271 с.

8. Сборник задач по теоретическим основам электротехники /Л.А. Бессонов и др. – М.: Высш. шк., 1988. – 534 с.

9. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники /Под ред. П.А. Ионкина. – М.: Энергоиздат, 1982. – 567с.

Мошкин Владимир Иванович