Примеры расчета переходных процессов классическим методом


1. Переходные процессы в R-L цепи при ее подключении
к источнику напряжения

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru Такие процессы имеют место, например, при подключении к источнику питания электромагнитов, трансформаторов, электрических двигателей и т.п.

Рассмотрим два случая:

а) Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru

б) Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Согласно рассмотренной методике для тока в цепи на рис. 2 можно записать

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru . (3)

Тогда для первого случая принужденная составляющая тока

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru . (4)

Характеристическое уравнение

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru ,

откуда Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru и постоянная времени Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Таким образом,

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru . (5)

Подставляя (4) и (5) в соотношение (3), запишем

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

В соответствии с первым законом коммутации Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru . Тогда

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru ,

откуда Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Таким образом, ток в цепи в переходном процессе описывается уравнением

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru ,

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru а напряжение на катушке индуктивности – выражением

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Качественный вид кривых Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru и Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru , соответствующих полученным решениям, представлен на рис. 3.

При втором типе источника принужденная составляющая рассчитывается с использованием символического метода:

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru ,

где Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Отсюда

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Выражение свободной составляющей не зависит от типа источника напряжения. Следовательно,

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Поскольку Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru , то

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Таким образом, окончательно получаем

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru . (6)

Анализ полученного выражения (6) показывает:

  1. При начальной фазе напряжения Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru постоянная интегрирования А=0. Таким образом, в этом случае коммутация не повлечет за собой переходного процесса, и в цепи сразу возникнет установившийся режим.
  2. При Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru свободная составляющая максимальна по модулю. В этом случае ток переходного процесса достигает своей наибольшей величины.

Если Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru значительна по величине, то за полпериода свободная составляющая существенно не уменьшается. В этом случае максимальная величина тока переходного процесса Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru может существенно превышать амплитуду тока установившегося режима. Как видно из рис. 4, где

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru , максимум тока имеет место примерно через Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru . В пределе при Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Таким образом, для линейной цепи максимальное значение тока переходного режима не может превышать удвоенной амплитуды принужденного тока: Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Аналогично для линейной цепи с конденсатором: если в момент коммутации принужденное напряжение равно своему амплитудному значению и постоянная времени Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru цепи достаточно велика, то примерно через половину периода напряжение на конденсаторе достигает своего максимального значения Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru , которое не может превышать удвоенной амплитуды принужденного напряжения: Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

2. Переходные процессы при отключении катушки индуктивности
от источника питания

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru При размыкании ключа в цепи на рис. 5 принужденная составляющая тока через катушку индуктивности Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Характеристическое уравнение

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru ,

откуда Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru и Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

В соответствии с первым законом коммутации

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Таким образом, выражение для тока в переходном режиме

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru

и напряжение на катушке индуктивности

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru . (7)

Анализ (7) показывает, что при размыкании цепей, содержащих индуктивные элементы, могут возникать большие перенапряжения, которые без принятия специальных мер могут вывести аппаратуру из строя. Действительно, при Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru модуль напряжения на катушке индуктивности в момент коммутации будет во много раз превышать напряжение источника: Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru . При отсутствии гасящего резистора R указанное напряжение прикладывается к размыкающимся контактам ключа, в результате чего между ними возникает дуга.

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru 3. Заряд и разряд конденсатора

При переводе ключа в положение 1 (см. рис. 6) начинается процесс заряда конденсатора:

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Из характеристического уравнения

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru

определяется корень Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru . Отсюда постоянная времени Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Таким образом,

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

При t=0 напряжение на конденсаторе равно Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru (в общем случае к моменту коммутации конденсатор может быть заряженным, т.е. Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru ). Тогда Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru и

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Соответственно для зарядного тока можно записать

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

В зависимости от величины Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru : 1 - Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru ; 2 - Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru ; 3 - Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru ; 4 - Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru - возможны четыре вида кривых переходного процесса, которые иллюстрирует рис. 7.

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru

При разряде конденсатора на резистор Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru (ключ на рис.6 переводится в положение 2) Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru . Постоянная времени Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Тогда, принимая, что к моменту коммутации конденсатор был заряжен до напряжения Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru (в частном случае Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru ), для напряжения на нем в переходном режиме можно записать

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Соответственно разрядный ток

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru . (8)

Как видно из (8), во избежание значительных бросков разрядного тока величина Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru должна быть достаточно большой.

В заключение отметим, что процессы заряда и разряда конденсатора используются в генераторах пилообразного напряжения, широко применяемых в автоматике. Для этого ключ в схеме на рис. 6 заменяется на электронный.

Литература

  1. Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1. Составить характеристическое уравнение для цепи на рис. 1, используя выражение входного сопротивления относительно места разрыва ветви с резистором Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .
  2. Может ли в одной части линейной цепи протекать колебательный переходный процесс, а в другой – апериодический?
  3. Для чего в схеме на рис. 5 служит цепочка, состоящая из диода и резистора R?
  4. Почему можно разрывать ветвь с конденсатором и нельзя – ветвь с индуктивным элементом?
  5. Почему корни характеристического уравнения не зависят от того, относительно какой переменной было записано дифференциальное уравнение?
  6. Для цепи на рис. 8 составить характеристическое уравнение и определить, при каких значениях Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru переходный процесс в ней будет носить апериодический характер, если Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru

Ответ: Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

  1. Определить Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru в цепи на рис. 9, если Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru , Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru , Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru , Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Ответ: Примеры расчета переходных процессов классическим методом - student2.ru .

Лекция N 26

Наши рекомендации