Выражение целого и смешанного числа неправильной дробью

Знакомству учащихся с этим новым преобразованием должп предшествовать решение задач, например:

«2 равных по длине куска ткани, имеющих форму квадрат. > разрезали на 4 равные части. Из каждой такой части сшили платок. Сколько получилось платков?» I Запись: 2= -¹4^-, 2= -% ]

Далее учитель предлагает учащимся выполнить такое задание «Возьмите целый круг и еще половину круга, равного по размс ру первому. Разрежьте целый круг пополам. Сколько всего поло

1 3

вин получилось? Запишите: было 1 •*• круга, стало •*• круга, значит ,

,13 ¹ 2 = 2*'

Таким образом, опираясь на наглядно-практическую основу, рассматриваем еще ряд примеров. В рассматриваемых примерах учащимся предлагается сравнить исходное число (смешанное или целое) и число, которое получилось после преобразования (непра­вильная дробь).

Чтобы познакомить учеников с правилом выражения целого и смешанного числа неправильной дробью, надо привлечь их внима­ние к сравнению знаменателей смешанного числа и неправильной дроби, а также к тому, как получается числитель, например:

12 1 3 3 12 3

1 2"=?, 1 = 2", да еще ^, всего ^ 3 ^=?, 3=-^-, да еще ^, всего

будет -^-. В итоге формулируется правило: чтобы смешанное число

выразить неправильной дробью, надо знаменатель умножить на целое число, прибавить к произведению числитель и сумму запи­сать числителем, а знаменатель оставить без изменения.

Вначале нужно упражнять учащихся в выражении неправиль­ной дробью единицы, затем любого другого целого числа с указа­нием знаменателя, а уже затем смешанного числа:

7'

Основное свойство дроби¹

[онятие неизменяемости дроби при одновременном увеличении

1 уменьшении ее членов, т. е. числителя и знаменателя, усваи-
1тся учащимися школы VIII вида с большим трудом. Это поня-
Ь необходимо вводить на наглядном и дидактическом материале,

,'ичем важно, чтобы учащиеся не только наблюдали за деятель­ностью учителя, но и сами активно работали с дидактическим материалом и на основе наблюдений и практической деятельности приходили к определенным выводам, обобщению.

Например, учитель берет целую репу, делит ее на 2 равные •мсти и спрашивает: «Что получили при делении целой репы

пополам? (2 половины.) Покажите •*• репы. Разрежем (разделим)

¹ 2

половину репы еще на 2 равные части. Что получим? -у. Запишем:

1 2

тт=-т- Сравним числители и знаменатели этих дробей. Во сколько

раз увеличился числитель? Во сколько раз увеличился знамена­тель? Во сколько раз увеличились и числитель, и знаменатель? Изменилась ли дробь? Почему не изменилась? Какими стали доли: крупнее или мельче? Увеличилось или уменьшилось число

долей?»

Затем все учащиеся делят круг на 2 равные части, каждую половину делят еще на 2 равные части, каждую четверть еще на

2 равные части и т. д. и записывают: "о^А^тг^тгг ^{и т}- Л- Потом
устанавливают, во сколько раз увеличился числитель и знамена­
тель дроби, изменилась ли дробь. Затем чертят отрезок и делят
его последовательно на 3, 6, 12 равных частей и записывают:

1_2_ 4

"3~"6~Т2-

1 21 4 При сравнении дробей -^ и -^, -^ и -^ обнаруживается, что

числитель и знаменатель дроби тг увеличивается в одно и то же число раз, дробь от этого не изменяется.

После рассмотрения ряда примеров следует предложить уча­щимся ответить на вопрос: «Изменится ли дробь, если числитель Некоторые знания по теме «Обыкновенные дроби» исключаются из учебных программ по математике в коррекционных школах VIII вида, но они сообщаются учащимся в школах для детей с задержкой психического развития, в классах выравнивания для детей, испытывающих трудности в обучении математике. В данном учебнике параграфы, где дается методика изучения этого материала,

обозначены звездочкой (*).

I

л

и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (увеличит -в одно и то же число раз)?» Кроме того, надо попросить учащихс самим привести примеры.

Аналогичные примеры приводятся при рассмотрении уменыш ния числителя и знаменателя в одно и то же число раз (числители и знаменатель делятся на одно то же число). Например, кр>'

( 4 \ делят на 8 равных частей, берут 4 восьмые доли круга I -о- ]

укрупнив доли, берут четвертые, их будет 2. Укрупнив доли

4 2 1 берут вторые. Их будет 1 ^:~й⁼-д—-%- Сравнивают последователь!I

числители и знаменатели этих дробей, отвечая на вопросы: «В<> сколько раз уменьшается числитель и знаменатель? Изменится ли дробь?».

Хорошим пособием являются полосы, разделенные на 12, 6, 3 равные части (рис. 26).

-1 =1-1 12 6 3 Рис. 26

На основании рассмотренных примеров учащиеся могут сде­лать вывод: дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (уменьшить в одно и то же число раз). Затем дается обобщенный вывод — основное свойство дроби: дробь не изме­нится, если числитель и знаменатель дроби увеличить или умень шить в одно и то же число раз.

Сокращение дробей

Предварительно необходимо готовить учащихся к этому преоб разованию дробей. Как известно, сократить дробь — это значит числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число Но делителем должно быть такое число, которое дает в ответе несократимую дробь.

За месяц-полтора до ознакомления учащихся с сокращением дробей проводится подготовительная работа — предлагается из таблицы умножения назвать два ответа, которые делятся на одно и то же число. Например: «Назовите два числа, которые делятся на 4». (Сначала учащиеся смотрят' в таблицу, а потом называют эти числа по памяти.) Они называют и числа, и результаты их. деления на 4. Затем учитель предлагает ученикам для дроби, 304

например |, подобрать делитель — для числителя и знаменателя
(опорой для выполнения такого действия является таблица умно­
жения). ₅
Далее учитель предлагает подобрать делитель для дроби -^. (В

какую таблицу надо посмотреть? На какое число можно разделить 5 и 15?) Выясняется, что при делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число величина дроби не изменилась (это можно показать на полоске, отрезке, круге), только стали круп­нее доли: -тг=т- ^ВиД ДР^{оби стал} проще- Учащиеся подводятся к выводу правила сокращения дробей.

Учащимся школы VIII вида часто оказывается трудно подо­брать наибольшее число, на которое делится и числитель, и знаменатель дроби. Поэтому нередко наблюдаются ошибки такого характера, как -^=|, т. е. ученик не нашел наибольший общий делитель для чисел 4 и 12. Поэтому на первых порах можно разрешить постепенное деление, т. е. -^=^=^ ^{но при ЭТОМ} °^Пра" шивать, на какое число разделили числитель и знаменатель дроби сначала, на какое число потом и затем на какое число сразу можно было разделить числитель и знаменатель дроби. Такие вопросы помогают учащимся постепенно отыскивать наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю*

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю нужно рассматривать не как самоцель, а как преобразование, необходимое для сравнения дробей, а затем и для выполнения действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Учащиеся уже знакомы со сравнением дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями и с одинаковыми знамена­телями, но разными числителями. Однако они еще не умеют сравни­вать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Перед тем как объяснять учащимся смысл нового преобразова­ния, необходимо повторить пройденный материал, выполнив, на­пример, такие задания:

Сравнить дроби |, у, |. Сказать правило сравнения дробей с

одинаковыми числителями.

Сравнить дроби -г-, тт, ?-, -?. Сказать правило сравнения др

с одинаковыми знаменателями.

3 1

Сравнить дроби ^ и -^. Эти дроби учащиеся сравнить затрудня­ются, так как у них разные числители и разные знаменатели. Чтобы ] сравнить эти дроби, нужно сделать равными числители или знамена­тели этих дробей. Обычно в одинаковых долях выражают знаменате-| ли, т. е. приводят дроби к наименьшему общему знаменателю.

Учащихся необходимо познакомить со способом выражения \ дробей в одинаковых долях.

Сначала рассматриваются дроби с разными знаменателями, но такие, у которых знаменатель одной дроби делится без остатка на знаменатель другой дроби и, следовательно, может являться и знаменателем другой дроби.

3 1 Например, у дробей тг и •*• знаменателями являются числа 8 и 2.

Чтобы выразить эти дроби в одинаковых долях, учитель предлага­ет меньший знаменатель умножать последовательно на числа 2, 3, 4 и т. д. и делать это до тех пор, пока не получится результат, равный знаменателю первой дроби. Например, 2 умножим на 2, получим 4. Знаменатели опять у двух дробей разные. Далее 2 умножим на 3, получим 6. Число 6 также не подходит. 2 умножим на 4, получим 8. В этом случае знаменатели стали одинаковыми. Чтобы дробь не изменилась, надо и числитель дроби -^ умно­жить на 4 (на основании основного свойства дроби). Получим

4 34

дробь д-. Теперь дроби •§• и -д- выражены в одинаковых долях. Их

легко и сравнивать, и выполнять с ними действия.

Найти число, на которое нужно умножить меньший знамена­тель одной из дробей, можно делением большего знаменателя на меньший. Например, если 8 разделить на 2, то получим число 4. На это число нужно умножить и знаменатель, и числитель дроби. Значит, чтобы выразить в одинаковых долях несколько дробей, нужно больший знаменатель разделить на меньший, частное умно­жить на знаменатель и числитель дроби с меньшими знаменате-

15 2 лями. Например, даны дроби ^-, -^ и -д. Чтобы эти дроби привести

к наименьшему общему знаменателю, нужно 12:6=2, 2x6=12, 306

'2x1=2. Дробь ^ примет вид -^. Затем 12:3=4, 4x3=12,

2 8 152

4x2 = 8. Дробь д- примет вид -^-. Следовательно, дроби ^-, -^ и -у

25 8 примут соответственно вид -™-, -гя- и -г*-, т. е. окажутся выражен-

ными в одинаковых долях.

Проводятся упражнения, которые позволяют сформировать умения приведения дробей к общему наименьшему знаменателю.

с о о

Например, надо выразить в одинаковых долях дроби ттг и •*•• тт.

I 3 I- Т

Чтобы учащиеся не забывали то частное, которое получается от деления большего знаменателя на меньший, целесообразно его

с

записывать над дробью с меньшим знаменателем. Например, -т^- и

2^х5 6 10 ,д ,51

-у, тт ^и ТВ"' Можно также предложить сравнить дроби -^ и т^.

5 ^И ТВ"' 3 ^и ? ^{и Т}- ^д'

Затем рассматриваются такие дроби, у которых больший зна­менатель не делится на меньший и, следовательно, не является

3 5 общим для данных дробей. Например, •§• и ^-. Знаменатель 8 не

делится на 6. В этом случае больший знаменатель 8 будем после­довательно умножать на числа числового ряда, начиная с 2, до тех пор, пока не получим число, которое делится без остатка на оба знаменателя 8 и 6. Чтобы дроби остались равными данным, числители нужно соответственно умножить на те же числа. На-

3 5 пример, чтобы дроби •§• и -^ были выражены в одинаковых долях,

больший знаменатель 8 умножаем на 2(8x2 = 16). 16 не делится на 6, значит, 8 умножаем на следующее число 3(8x3=24). 24 делится на 6 и на 8, значит, 24 — общий знаменатель для данных дробей. Но чтобы дроби остались равными, числители их надо увеличить во столько же раз, во сколько раз увеличили знамена­тели, 8 увеличили в 3 раза, значит, и числитель этой дроби 3

увеличим в 3 раза.

3 9

Дробь -д примет вид щ. Знаменатель 6 увеличили в 4 раза.

Дроби -д и -г- примут соответственно вид ^т и ~^-

Таким образом, подводим учащихся к общему выводу (правил знакомим их с алгоритмом выражения дробей в одинаковых дс

3 5 Например, даны две дроби т и у.

ч

1. Находим наименьший общий знаменатель: 7x2=14, 7x3=1..
7x4=28. 28 делится на 4 и на 7. 28 — наименьший общий знам<

, _а 3 5 натель для дробей т ^и у-

2. Находим дополнительные множители: 28:4=7,

\7

28:7=4.

= \4

3. Запишем их над дробями: —г- и -=-

4. Числители дробей умножим на дополнительные множителц|
3x7=21, 5x4=20.

„ , 21 20 о

Получим дроби с одинаковыми знаменателями ^г и ^тг. Значит,!

_. 3 5 дроби х и ₇ мы привели к общему наименьшему знаменателю.

Опыт показывает, что ознакомление учащихся с преобразование» дробей целесообразно проводить перед изучением различных ариф метических действий с дробями. Например, сокращение дробей ил», замену неправильной дроби целым или смешанным числом целесооб-^ разно дать перед изучением сложения и вычитания дробей с одина-| ковыми знаменателями, так как в полученной сумме или разноси придется делать либо одно, либо оба преобразования.

_и 1,1 2 15.38 ,15, 7 • 12 ,

Например, _т+_т=_т=₇; ₇₊₇=₇=\₇; ^+^-^-=1

Приведение дробей к наименьшему общему знаменател, лучше изучать с учащимися перед темой «Сложение и вычитание! дробей с разными знаменателями», а замену смешанного числа! неправильной дробью — перед темой «Умножение и деление дро-' бей на целое число».