Выражение целого и смешанного числа
Неправильной дробью
Знакомству учащихся с этим новым преобразованием должно предшествовать решение задач, например:
«2 равных по длине куска ткани, имеющих форму квадрата, разрезали на 4 равные части. из каждой такой части сшили платок. Сколько получилось платков?» (Запись: 2= …/4, 2= 8/4) .
Далее учитель предлагает учащимся выполнить такое задание:
«Возьмите целый круг и еще половину круга, равного по размеру первому. Разрежьте целый круг пополам. Сколько всего половин получилось? Запишите: было 1 1/2 круга, стало 3/2 круга, значит, 11/2=3/2».
Таким образом, опираясь на наглядно-практическую основу, рассматриваем еще ряд примеров. В рассматриваемых примерах учащимся предлагается сравнить исходное число (смешанное или целое) и число, которое получилось после преобразования (неправильная дробь).
Чтобы познакомить учеников с правилом выражения целого и смешанного числа неправильной дробью, надо привлечь их внимание к сравнению знаменателей смешанного числа и неправильной дроби, а также к тому, как получается числитель, например: 1 1/2 =?, 1=2/2, да еще 1/2, всего 3/2; 3 3/4=?, 3= 12/4 , да еще 3/4 всего будет 15/4 . В итоге формулируется правило: чтобы смешанное число выразить неправильной дробью, надо знаменатель умножить на целое число, прибавить к произведению числитель и сумму записать числителем, а знаменатель оставить без изменения.
Вначале нужно упражнять учащихся в выражении неправильной дробью единицы, затем любого другого целого числа с указанием знаменателя, а уже затем смешанного числа:
1 = ?/3, 1 = ?/5, 3 = ?/2, 4 = ?/5, 1 = ?/7, 4 = ?/3, 11/8 = ?/8, 71/2 = ?/2, 33/4 = ?/?.
Основное свойство дроби1
Понятие неизменяемости дроби при одновременном увеличении или уменьшении ее членов, т. е. числителя и знаменателя, усваивается учащимися школы VIII вида с большим трудом. Это понятие необходимо вводить на наглядном и дидактическом материале, причем важно, чтобы учащиеся не только наблюдали за деятельностью учителя, но и сами активно работали с дидактическим материалом и
______________________________________________________________________
1 Некоторые знания по теме «Обыкновенные дробим исключаются из учебных программ по математике в коррекционных школах VIII вида, но они сообщаются учащимся в ш колах для детей с задержкой психического развития, в классах выравнивания для детей, испытывающих трудности в обучении математике. В данном учебнике параграфы, где дается методика изучения этого материала, обозначены звездочкой (*).
на основе наблюдений и практической деятельности приходили к определенным выводам, обобщению.
Например, учитель берет целую репу, делит ее на 2 равные части и спрашивает: «Что получили при делении целой репы пополам? (2 половины.) Покажите ½ репы. Разрежем (разделим) половину репы еще на 2 равные части. Что получим? 2/4. Запишем: 1/2 = 2/4. Сравним числители и знаменатели этих дробей. Во сколько раз увеличился числитель? Во сколько раз увеличился знаменатель? Во сколько раз увеличились и числитель, и знаменатель? Изменилась ли дробь? Почему не изменилась? Какими стали доли: крупнее или мельче? Увеличилось или уменьшилось число долей?»
Затем все учащиеся делят круг на две равные части, каждую половину делят еще на 2 равные части, каждую четверть еще на 2 равные части и т.д. и записывают: 1/2 = 2/4= 4/8= 8/16 и т.д. Потом устанавливают, во сколько раз увеличился числитель и знаменатель дроби, изменилась ли дробь. Затем чертят отрезок и делят его последовательно на 3, 6, 12 равных частей и записывают: 1/3= 2/6= 4/12.
При сравнении дробей 1/3 и 2/6, 1/3 и 4/12 обнаруживается, что числитель и знаменатель дроби 3 увеличивается в одно и то же число раз, дробь от этого не изменяется.
После рассмотрения ряда примеров следует предложить учащимся ответить на вопрос: «Изменится ли дробь, если числитель в одно и то же число раз)?» Кроме того, надо попросить учащихся и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (увеличить самим привести примеры.
Аналогичные примеры приводятся при рассмотрении уменьшения числителя и знаменателя в одно и то же число раз (числитель и знаменатель делятся на одно то же число). Например, круг делят на 8 равных частей, берут 4 восьмые доли круга (4/8) , укрупнив доли, берут четвертые, их будет 2. Укрупнив доли, берут вторые. Их будет 1÷ 4/8= 2/4 =1/2. Сравнивают последовательно числители и знаменатели этих дробей, отвечая на вопросы: «Во сколько раз уменьшается числитель и знаменатель? Изменится ли дробь?».
Хорошим пособием являются полосы, разделенные на 12, 6, 3 равные части (рис. 26).
На основании рассмотренных примеров учащиеся могут сделать вывод: дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (уменьшить в одно и то же число раз). Затем дается обобщенный вывод - основное свойство дроби: дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби увеличить или уменьшить в одно и то же число раз.
Сокращение дробей
Предварительно необходимо готовить учащихся к этому преобразованию дробей. Как известно, сократить дробь - это значит числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число. Но делителем должно быть такое число, которое дает в ответе несократимую дробь.
За месяц-полтора до ознакомления учащихся с сокращением дробей проводится подготовительная работа - предлагается из таблицы умножения назвать два ответа, которые делятся на одно и то же число. Например: «Назовите два числа, которые делятся на 4». (Сначала учащиеся смотрят' в таблицу, а потом называют эти числа по памяти.) Они называют и числа, и результаты их деления на 4. Затем учитель предлагает ученикам для дроби, например 3/6, подобрать делитель - для числителя и знаменателя (опорой для выполнения такого действия является таблица умножения).
Далее учитель предлагает подобрать делитель для дроби 5/15. (В какую таблицу надо посмотреть? На какое число можно разделить 5 и 15?) Выясняется, что при делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число величина дроби не изменилась (это можно показать на полоске, отрезке, круге), только стали крупнее доли: 5/15=1/3. Вид дроби стал проще. Учащиеся подводятся к выводу правила сокращения дробей.
Учащимся школы VIII вида часто оказывается трудно подобрать наибольшее число, на которое делится и числитель, и знаменатель дроби. Поэтому нередко наблюдаются ошибки такого характера, как 4/12=2/6, т. е. ученик не нашел наибольший общий делитель для чисел 4 и 12. Поэтому на первых порах можно разрешить постепенное деление, т. е. 4/12 = 2/6=1/3, но при этом спрашивать, на какое число разделили числитель и знаменатель дроби сначала, на какое число разделили числитель и знаменатель дроби сначала, на какое число потом и затем на какое число сразу можно было разделить числитель и знаменатель дроби. Такие вопросы помогают учащимся постепенно отыскивать наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби.
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю*
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю нужно рассматривать не как самоцель, а как преобразование, необходимое для сравнения дробей, а затем и для выполнения действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
Учащиеся уже знакомы со сравнением дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями и с одинаковыми знаменателями, но разными числителями. Однако они еще не умеют сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.
Перед тем как объяснять учащимся смысл нового преобразования, необходимо повторить пройденный материал, выполнив, например, такие задания:
Сравнить дроби 2/5, 2/7, 2/3. Сказать правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.
Сравнить дроби 3/5, 4/5, 2/5, 6/5. Сказать правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Сравнить дроби 3/8 и 1/2. Эти дроби учащиеся сравнить затрудняются, так как у них разные числители и разные знаменатели. Чтобы сравнить эти дроби, нужно сделать равными числители или знаменатели этих дробей. Обычно в одинаковых долях выражают знаменатели, т. е. приводят дроби к наименьшему общему знаменателю.
Учащихся необходимо познакомить со способом выражения дробей в одинаковых долях.
Сначала рассматриваются дроби с разными знаменателями, но такие, у которых знаменатель одной дроби делится без остатка на знаменатель другой дроби и, следовательно, может являться и знаменателем другой дроби.
Например, у дробей 3/8 и 1/2 знаменателями являются числа 8 и 2. Чтобы выразить эти дроби в одинаковых долях, учитель предлагает меньший знаменатель умножать последовательно на числа 2, 3, 4 и т. д. и делать это до тех пор, пока не получится результат, равный знаменателю первой дроби. Например, 2 умножим на 2, получим 4. Знаменатели опять у двух дробей разные. Далее 2 умножим на 3, получим 6. Число 6 также не подходит. 2 умножим на 4, получим 8. В этом случае знаменатели стали одинаковыми.
Чтобы дробь не изменилась, надои числитель дроби 1/2 умножить на 4 (на основании основного свойства дроби). Получим дробь 4/8. Теперь дроби 3/8 и 4/8 выражены в одинаковых долях. Их легко и сравнивать, и выполнять сними действия.
Найти число, на которое нужно умножить меньший знаменатель одной из дробей, можно делением большего знаменателя на меньший. Например, если 8 разделить на 2, то получим число 4. На это число нужно умножить и знаменатель, и числитель дроби. Значит, чтобы выразить в одинаковых долях несколько дробей, нужно больший знаменатель разделить на меньший, частное умножить на знаменатель и числитель дроби с меньшими знаменателями. Например, даны дроби 1/6, 5/12 и 2/3. Чтобы эти дроби привести к наименьшему общему знаменателю, нужно 12÷6=2, 2×6=12, 2×1=2. Дробь 1/6 примет вид 2/12. Затем 12÷3=4, 4×3=12, 4 × 2=8. Дробь 2/3 примет вид 8/12. Следовательно, дроби 1/6, 5/12 и 2/3 примут соответственно вид 2/12, 5/12 и 8/12, т. е. окажутся выраженными в одинаковых долях.
Проводятся упражнения, которые позволяют сформировать умения приведения дробей к общему наименьшему знаменателю. Например, надо выразить в одинаковых долях дроби 6/15 и 2/3, 3/8, 1/2, 3/4.
Чтобы учащиеся не забывали то частное, которое получается от деления большего знаменателя на меньший, целесообразно его записывать над дробью с меньшим знаменателем. Например, 6/15 и 2/3, 6/15 и 10/15. Можно также предложить сравнить дроби 5/6 и 1/12, 4/5 и 2/15, 2/3 и 7/9 и т.д.
Затем рассматриваются такие дроби, у которых больший знаменатель не делится на меньший и, следовательно, не является общим для данных дробей. Например, 3/8 и 5/6. Знаменатель 8 не делится на 6. В этом случае больший знаменатель 8 будем последовательно умножать на числа числового ряда, начиная с 2, до тех пор, пока не получим число, которое делится без остатка на оба знаменателя 8 и 6. Чтобы дроби остались равными данным, числители нужно соответственно умножить на те же числа. Например, чтобы дроби 3/8 и 5/6 были выражены в одинаковых долях, больший знаменатель 8 умножаем на 2(8 × 2=16). 16 не делится на 6, значит, 8 умножаем на следующее число 3(8 × 3=24). 24 делится на 6 и на 8, значит, 24 - общий знаменатель для данных дробей. Но чтобы дроби остались равными, числители их надо увеличить во столько же раз, во сколько раз увеличили знаменатели, 8 увеличили в 3 раза, значит, и числитель этой дроби 3 увеличим в 3 раза.
Дробь 3/8 примет вид 9/24. Знаменатель 6 увеличили в 4 раза. Соответственно числитель 5 дроби 6 надо увеличить в 4 раза. Соответственно числитель 5 дроби 5/6 надо увеличить в 4 раза. Дроби 3/8 и 5/6 примут соответственно вид 9/24 и 20/24.
Таким образом, подводим учащихся к общему выводу (правилу) и знакомим их с алгоритмом выражения дробей в одинаковых долях.
Например, даны две дроби 3/4 и 5/7.
1. Находим наименьший общий знаменатель: 7× 2=14, 7 × 3=21, 7 × 4=28. 28 делится на 4 и на 7. 28 - наименьший общий знаменатель для дробей 3/4 и 5/7.
2. Находим дополнительные множители: 28÷4 = 7, 28÷7 =4.
3. Запишем их над дробями: 3\7/4, 5\4/7.
4. Числители дробей умножим на дополнительные множители: 3×7=21, 5×4=20.
Получим дроби с одинаковыми знаменателями 21/28 и 20/28. Значит, дроби 3/4 и 5/7 мы привели к общему наименьшему знаменателю.
Опыт показывает, что ознакомление учащихся с преобразованием
дробей целесообразно проводить перед изучением различных арифметических действий с дробями. Например, сокращение дробей или замену неправильной дроби целым или смешанным числом целесообразно дать перед изучением сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, так как в полученной сумме или разности придется делать либо одно, либо оба преобразования.
Например, 1/4 + 1/4= 2/4; 5/7 + 3/7= 8/7= 11/7; 5/8 + 7/8= 12/8= 14/8= 11/2.
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю лучше изучать с учащимися перед темой «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями», а замену смешанного числа неправильной дробью - перед темой «Умножение и деление дробей на целое число».