Расчёты на жесткость при изгибе

Пример 6. Определить прогиб двутавровой балки № 30 (ГОСТ 8239—72) пролетом l = 6 м, нагруженной равномерно распределенной по всему пролету нагрузкой интенсивностью q = 20 Н/мм.

Решение

Абсолютная величина прогиба определяется по формуле:

Принимая Е = 2,0_*10⁵ Н/мм² и J_x = 7080_*10⁴ мм⁴ (по таблице ГОСТ)., получаем

что составляет 1/251 пролета

Пример 7. Подобрать сечение стальной двутавро­вой балки пролетом 4,8 м, нагруженной равномерно рас­пределенной по всему пролету нагрузкой интенсивностью q = 5 кНм = 5 Н/мм и сосредоточенной силой Р = 30 кН, приложенной посередине пролета, исходя из условий прочности и жесткости, если допускаемое напряжение [σ] = 140 Н/мм², а допускаемый прогиб [f/l] = 1/600. При­нять E = 2,1 • 10⁵ Н/мм².

Решение

Наибольший изгибающий момент при задан­ном нагружении

Требуемый момент сопротивления по условию проч­ности

Ближайший по ГОСТ 8239—72 двутавр № 24 имеет W_x = 289 см³.

Абсолютная величина наибольшего прогиба посередине пролета определяется как сумма прогибов для каждого из двух нагружений:

По условию жесткости он не должен превышать 1/600 пролета. Имеем

Сократив на l и подставив числовые значения, получим

откуда требуемый момент инерции сечения

Двутавр № 24 имеет J = 3460 см⁴ и недостато­чен для обеспечения жест­кости балки. Следует при­нять двутавр № 30 с J_x = 7080 см⁴.

Пример 8. Проверить жесткость балки, изображен­ной на рис. 2.63, если угол поворота ее свободного конца не должен превышать 1°; принять Е = 2,0*10⁴ Н/мм².

Решение

Момент инерции заданного сечения балки

Полный угол поворота свободного конца В опреде­лится как сумма углов поворота от каждой из трех на­грузок, при этом учтем, что 100 Н/м=0,1 Н/мм:

Жесткость балки недостаточна.

Расчёты на косой изгиб

Пример 9. Деревянная балка прямоугольного се­чения с отношением сторон b/h = 1/2 (рис. 2.64) защемлена одним концом и изгибается силой Р = 1,5 кН, приложенной на свободном конце. Определить требуемые размеры сече­ния, если допускаемое напряжение [σ] = 11 Н/мм².

Решение

Разложим силу Р на составляющие по на­правлениям главных центральных осей сечения:

Наибольшие изгибающие моменты от каждой из состав­ляющих сил возникнут в защемленном сечении:

Наибольшие напряжения будут в точках А и С; в точке А — растягивающие, в точке С — сжимающие. По абсолютному значению они равны.

Составим условие прочности для точки А, учитывая, что W_x = bh²/6, a W_y = hb²/6:

Подставим числовые значения:

Откуда

и, следовательно,

Пример 10. Определить необходимый по условию прочности диаметр поперечного сечения стержня, изгибае­мого силами, действующими в двух взаимно перпендику­лярных плоскостях (рис. 2.65, а). Допускаемое напряже­ние [σ] =130 Н/мм².

Решение

Определим опорные реакции от вертикальной

нагрузки:

откуда

Составляем проверочное уравнение:

Так как уравнение ΣM_B^в = 0 удовлетворяет­ся тождественно, то вертикальные реакции вычислены верно.

Составим уравнения равновесия в горизон­тальной плоскости:

Откуда

Составляем проверочное уравнение:

Уравнение обращается в тождество, значит реакции най­дены верно.

На рис. 2.65, б, в построены эпюры изгибающих мо­ментов соответственно в вертикальной М_х и горизонталь­ной М_у плоскостях. Определяем ординаты этих эпюр для характерных сечений:

Результирующие изгибающие моменты в сечениях С и D составят:

Опасным оказалось сечение D: в нем возникает наи­больший изгибающий момент. Составим для этого сече­ния условие прочности:

Откуда

Или

Принимаем d = 90 мм.

Пример 11. Ступенчатая сталь­ная полоса толщиной δ = 24 мм (рис. 2.66) поддерживает груз Р. Определить допускаемую величину силы Р по условию прочности поло­сы, если допускаемое напряжение для нее [σ] =160 Н/мм².

Решение

Нижняя ступень полосы нагружена центрально. Условие проч­ности для любого сечения этой сту­пени имеет вид:

Откуда

Верхняя ступень полосы испытывает внецентренное растяжение. Эксцентриситет приложения растягивающей силы Р (см. рис. 2.66)

Условие прочности для любого сечения верхней ступени полосы имеет вид:

откуда

Очевидно, из двух найденных значений допускаемой величины силы Р следует принять меньшее, определяемое прочностью верхней сту­пени:

Приведенный пример показывает, что не всег­да увеличение сечения сопровождается возрастанием допускаемой на­грузки. В данном слу­чае как раз наоборот: вследствие появления эксцентриситета проч­ность верхней ступени полосы с большей пло­щадью сечения меньше, чем нижней ее ступени.

Пример 12. Ка­менный столб нагружен силой Р = 16,0_*10³ кН (рис. 2.67, а). Опреде­лить, не учитывая мас­сы столба, наибольшее и наименьшее сжима­ющие напряжения в его подошве и указать точ­ки, где они возникают.

Решение

Сила Р приложена с эксцентриситетом, ве­личина которого определяется его составляющими вдоль оси х: е_х = 0,25 м и вдоль оси у: е_у = 0,2 м. От внецентреннего приложения силы возникает косой изгиб, состав­ляющие изгибающего момента относительно осей х и у соответственно равны:

Наибольшее по абсолютному значению напряжение возникает в точках ребра СС'; здесь всем внутренним силовым факторам N = — Р, М_х и М_у соответствует воз­никновение сжимающих напряжений; наименьшее по абсолютному значению напряжение будет в точках ребра АA', там моментам М_х и М_у соответствуют растягиваю­щие напряжения, а продольной силе N = -- P — сжимаю­щие.

Для определения напряжения в угловых точках се­чения воспользуемся формулой

Вычисляем моменты сопротивления:

Подставляя числовые значения, выраженные в кН и м, в формулу нормальных напряжений σ, получаем:

для точки С

для точки А

При заданном эксцентриситете силы в точке А воз­никают растягивающие напряжения.

На рис. 2.67, б построены все три составляющие эпюры нормальных напряжений в поперечном сечении столба, соответствующие внутренним силовым факторам N, М_х, Му.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие внутренние силовые факторы возникают в сечении бал­ки при чистом и поперечном изгибах?

2. Почему при поперечном изгибе в продольных сечениях балки возникают касательные напряжения?

3. Каким опытом можно подтвердить возникновение касатель­ных напряжений в продольных сечениях балки?

4. В какой точке поперечного сечения (рис. 33.8) касательные напряжения при поперечном изгибе максимальны?

Варианты ответов: 1. А. 2. В. 3. С. 4. D.

5. Выберите верную эпюру распределения нормальных напряжений при изгибе (рис. 33.9). Напишите формулу для расчета нормальных напря­жений при изгибе. Изгибающий момент действует в вертикальной плоскости.

6. Как изменится максимальное нормальное напряжение в сечении (рис. 33.10а), если балку прямоугольного сечения положить плашмя (рис. 33.10б)? b = 20 мм; h = 100 мм.

7. Во сколько раз увеличится прогиб балки, если распреде­ленную по всей длине нагрузку заменить сосредоточенной, при­ложенной в середине пролета? Использовать формулы для опре­деления прогибов, приведенные в таблице 33.1.