Расчёты на жёсткость при изгибе.

Работающие на изгиб элементы строительных и машиностроительных конструкций во многих случаях должны быть рассчитаны не только на прочность,но и на жёсткость.

При этом зачастую оказывается, что требуемые размеры поперечного сечения бруса (балки), определённые из расчёта на жёсткость, получаются большими, чем требуемые по условию прочности.

В большинстве случаев условие жёсткости выражается неравенством

Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru , (7.27)

т.е. максимальный прогиб (стрела прогиба Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru ) не должна превышать допускаемого Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru .Для обеспечения нормальной работы подшипников скольжения и роликовых подшипников качения иногда ставиться дополнительное условие жёсткости – ограничение угла поворота опорных сечений:

Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru . (7.27а)При этом допускаемый угол поворота составляет в среднем 0.001 рад.

Пример 1. Одноопорная балка нагружена сосредоточенными силами и распределенной нагрузк6й (рис. 31.1). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Решение

Задачу решаем с помощью составления уравнений поперечных сил и изгибающих моментов в поперечных сечениях балки.

При проверке эпюр используем дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом:

1. Производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки

Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru

2. Производная изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе

Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru

Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru

Рассмотрим участок 1, сечение 1.

Поперечная сила Q1 = - F1= -15 кН.

По принятому правилу знаков поперечная сила отрицательна и постоянна на этом участке.

Изгибающий момент Mx1 = -F1z1.

0 ≤z1≤ 4 м: МА = 0; МВ= -15∙4 = -60 кН∙ м.

Рассмотрим участок 2, сечение 2.

Поперечная сила Q2 = -F1 - q(z2 - 4).

4 м ≤ z2≤ 8 м: QB = -F1 = -15 кН; QCслева = -39кН.

Поперечная сила изменяется по линейному закону.

Изгибающий момент Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru

4 м ≤z2≤ 8 м:

при z2 = 4 м изгибающий момент MB= -6О кН∙м. В точке В нет внешнего момента, поэтому изгибающий момент слева и справа от точки В одинаков. В этом случае рассчитывать его дважды не следует;

при z2 = 8 м Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru

Рассмотрим участок 3, сечение 3.

В точке С приложена внешняя сила F2. На эпюре должен быть скачок, равный приложенной силе; на эпюре моментов должен быть излом.

Поперечная сила на участке 3: Q3 = -F1 - q(z3 - 4) - F2;

при z3 = 8 м QCсправа = -15 - 6·4 -10 = -49 кН;

точка С: QCслева = 39 кН; QСсправa = 49 кН;

при z3 =10м QD =-15-6·6-10= - 61кH.

Поперечная сила изменяется по линейному закону.

Изгибающий момент Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru

8 м ≤z3≤ 10 м:

при z3 = 10 м Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru

На участках 2 и 3 эпюра изгибающих моментов ограничена квадратичной параболой.

По полученным результатам, учитывая дифференциальные зависимости между поперечной силой и изгибающим моментом, строим эпюры Q и Мх. На втором u третьем участках поперечная сила не имеет нулевых значений, поэтому на эпюре моментов нет экстремумов.

Пример 2. На двухопорную балку действуют сосредоточенные силы и моменты (рис. 30.4). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru Для двухопорной балки построение эпюр начинают с определения опорных реакций балки. Для их определения используем систему уравнений равновесия, составляем два уравнения моментов относительно шарнирных опор. Затем проводим проверку правильности решения по уравнению

Решение

1. Определение реакций в опорах.

Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru

Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru

Реакция в опоре направлена в обратную сторону.

Проверка: ∑Fy = 0;

-RA + F1 + RB - F2 = 0; -36 + 35 + 71-70 = 0.

Реакции определены верно.

2. Для упрощения расчетов при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов можно провести расчет по характерным, точкам, без составления уравнений.

Для этого используют известные связи между поперечной силой и изгибающим моментом и правила построения эпюр..

Участок 1 (от точки А до точки С).

В точке А приложена реакция RА, направленная вниз. Поперечная сила на участке постоянна: Q1 = RA = -36 кН.

Момент в точке А равен нулю.

Точка С (слева). Приложена внешняя сила F1 = 35 кН, направленная вверх, - здесь возникнет скачок вверх на величину 35 кН.

Момент в точке С (слева) может быть рассчитан по известной зависимости МСслева = RA∙ 6; МСслева = -36·6 = -216 кН∙м.

Участок 2 (от точки С справа до точки В).

Поперечная сила в точке С (справа) равна Qc = -RА + F1;

Qc = -36 + 35 = -1 кН.

В точке С приложена внешняя пара сил с моментом 80 кН∙м, следовательно, здесь проявляется скачок на величину приложенного момента: МСсправа = MCслева + m;

MCсправа= -216 + 80 = 136 кН∙м.

Поперечная сила на втором участке постоянна: QС = QСсправа.

Момент в точке В определяется по зависимости МB = -RA·10 + F1·4 + m;

МВ = -36 ∙10 + 35·4+80 = -140 кН∙м.

Справа и слева от точки В момент имеет одинаковые значения.

Участок 3 (от точки В (справа) до точки D).

В точке В приложена внешняя сила RB. Здесь появляется скачок на величину 71 кН, QB = -1 + 71 = 70 кН.

Дальше по участку поперечная сила не изменяется. Момент в точке D равен нулю, т. к. здесь не приложена внешняя пара сил:

MD=0.

Рассмотрение поперечных сил и изгибающих моментов можно было провести и справа налево.

По полученным значениям сил и моментов строим эпюры (эпюры под схемой вала, рис. 30.4)

Задание 1.Для одноопорной балки, нагруженной сосредоточенными силами и парой сил с моментом, построить эпюры попе­речных сил и изгибающих моментов. Найти максимальный изгиба­ющий момент и из условия прочности подобрать поперечное сечение для балки в виде двутавровой балки и прямоугольника с соотношением сто­рон h= 2b. Материал — сталь, допускаемое напряжение 160 МПа. Данные взять из таблицы 8, схема 8.

Таблица 8

Исходные данные вариант
№ схемы
P, кН
g,кН/м
M, кН · м

Схема 8

Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru

Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
 
ПЗ
Разраб.
   
Провер.
 
 
 
 
 
   
 
 
Лит.
Листов
 
 
Цель: ________________________________________________________________

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение)___________________________________________________________

Компьютерная программа (если используется): Наименование программы____________________________________________________________

Дано:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Определить:__________________________________________________________

Решение

Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
 
ПЗ.

Контрольные вопросы:

1. Напишите формулу для определения нормального напряжения при изгибе

в любой точке поперечного сечения.______________________________________

______________________________________________________________________

2.

Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
 
ПЗ.
Напишите формулы для определения момента инерции и момента сопротивления для прямоугольника. Что характеризуют эти величины? Укажите единицы измерения этих величин.__________________________________

______________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Напишите условие прочности при изгибе.____________________________________

______________________________________________________________________________

4. Как принято называть брусья, работающие на прямой изгиб? _______________

____________________________________________________________________

5. Чем характеризуется изгиб? ___________________________________________

____________________________________________________________________

6. В поперечном сечении балки возникли изгибающий момент и поперечная сила. Укажите вид изгиба? ___________________________________________

____________________________________________________________________

7. Какой изгиб называют плоским?________________________________________

___________________________________________________________________

8. Какой изгиб называется косым? ________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Какие два внутренних силовых фактора возникают в прямом поперечном изгибе? _______________________________________________________________

__­__________________________________________________________________

10. Чему равен изгибающий момент? Чему равна поперечная сила? ___________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Практическое занятие 7

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

ИМПЕРАТОРА АЛЕКСАНДРА I»

(ФГБОУ ВПО ПГУПС)

ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ФИЛИАЛ

Практическое занятие 7

Расчеты передач

(Выполнение расчёта прямозубых передач и определение параметров зубчатых колёс)

Расчёты на жёсткость при изгибе. - student2.ru

Практическое занятие 7

Расчеты передач

(Выполнение расчёта прямозубых передач и определение параметров зубчатых колёс)

К выполнению задания необходимо приступить после изучения темы 3.2. «Механические передачи. Детали и сборочные единицы передач»

Цель: ознакомление с конструкцией и назначением зубчатых передач;

- составление кинематической схемы зубчатой передачи;

- научиться выполнять расчет на контактную прочность и изгиб;

- определять основные геометрические параметры.

Наши рекомендации