Расчет переходных процессов в линейных

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Данная работа подводит итог изучения переходных режимов в электрических цепях и усвоения методов их анализа. Для расчета переходного процесса предлагается цепь второго порядка, в которой действуют два источника постоянных воздействий.

Предполагается, что до срабатывания коммутаторов (коммутатор работает на замыкание) цепь находилась в установившемся режиме.

Задача расчета переходных процессов сводится к решению системы дифференциальных уравнений, связывающих заданные воздействия и искомые токи и напряжения в исследуемой послекоммутационной цепи. Сформулированная задача может быть решена на основе классической теории дифференциальных уравнений (классический метод), операционного исчисления (операторный метод), численных методов (метод пространства состояний).

2.1. Задание

На откидном листе изобразить электрическую цепь, подлежащую расчету, привести численные значения параметров и задающих источников тока и напряжения.

Рассчитать указанный преподавателем ток или напряжение в одной из ветвей классическим методом.

Составить эквивалентную операторную схему и записать для нее систему уравнений по законам Кирхгофа. Рассчитать искомый ток операторным методом.

Построить графики изменения во времени найденных величин.

2.2. Выбор варианта

1. Расчетная цепь выбирается в соответствии с номером варианта с помощью табл. 2.1. Графы расчетных цепей изображены на рис. 2.1.

2. Параметры пассивных элементов цепи и задающих источников цепей во всех вариантах определяются следующим образом:

L = 0,5×М Гн , С = 100×N мкФ;

величина сопротивлений для четных ветвей R = 100×А_r Ом,

для нечетных ветвей R = 20×(А_r + N)Ом;

параметры источников: Е₁ = 20 (N + M) В, Е₂= 20×N B, J = 0,1 (N + 2M) А,

где N – номер группы (для студентов заочного отделения: 1 – для студентов, обучающихся в нормативные сроки, 2 – для студентов, обучающихся в сокращенные сроки);

M – шифр специальности, для АТ – 1; АСУ – 2; ЭС – 1,5; ТК – 2,5; КТЭИ – 3; АЭП (АТПП) – 3,5; АТП – 4; АУЦ – 4,5; ЭВТ – 5; МЭ – 5,5; КЗИ – 6; КСК – 6,5; ИВК – 2;

A_r – сумма цифр номера варианта.

Таблица 2.1

Вариант	Граф	Ключ	Расположение элементов в ветвях цепи
E1	Е2	J	R	L	C
1, 26, 51, 76	а			–		1, 5, 4
2, 27, 52, 77	б				–	3, 4, 5
3, 28, 53, 78	в			–		1, 2, 3
4, 29, 54, 79	г			–		1, 4, 3
5, 30, 55, 80	д				–	2, 4, 5
6, 31, 56, 81	е				–	1, 3, 4, 5, 6
7, 32, 57, 82	а			–		2, 3, 5, 6
8, 33, 58, 83	б				–	1, 2, 3, 5
9, 34, 59, 84	в			–		1, 4, 5
10 , 35, 60, 85	г				–	2, 3, 4, 5
11, 36, 61, 86	д				–	1, 2, 3, 4, 5
12, 37, 62, 87	е			–		3, 4, 5, 6
13,38,63, 88	а			–		1, 4, 5
14, 39, 64, 89	б			–		1, 4, 3
15, 40, 65, 90	в				–	1, 3, 4, 5
16, 41, 66, 91	г			–		1, 3, 4, 5
17, 42, 67, 92	д				–	1, 3, 4, 5
18, 43, 68, 93	е			–		2, 3, 4, 6
19, 44, 69, 94	а				–	1, 5, 6
20, 45, 70, 95	б				–	2, 4, 5
21, 46, 71, 96	в			–		1, 2, 3, 4
22, 47, 72, 97	г			–		2, 3, 5
23, 48, 73, 98	д			–		1, 3, 4
24, 49, 74, 99	е			–		1, 2, 3, 6
25, 50, 75, 100	а			–		1, 3, 4, 6

Выбор искомой величины

№ варианта	искомая величина	№ варианта	искомая величина	№ варианта	искомая величина	№ варианта	искомая величина
	I1		I4		I5		IC
	I4		I5		IC		I3
	I2		I1		IC		UL
	I4		I3		IC		UL
	I2		I4		I5		IC
	I4		I1		I5		I3
	IC		I3		I6		UL
	I3		IC		I2		I5
	I1		IC		UL		UR1
	I4		IC		I3		I2
	I5		IC		I4		I3
	I5		IC		UL		I3
	I4		I5		IC		I1
	I3		I4		UL		IC
	I3		I5		UL		I4
	I3		IC		I5		UL
	I3		I4		I1		IC
	I6		I2		I4		IC
	I5		I6		IC		UL
	I2		I5		IC		I3
	IC		I4		I2		UL
	I5		I2		I1		IC
	I4		I1		IC		UL
	I1		I2		IC		I6
	I6		I5		I3		IC

Методические указания

Классический метод расчета

Переходный процесс можно рассчитать классическим методом в следующей последовательности:

1. Расчет докоммутационного установившегося режима с целью получения независимых начальных условий (правил коммутации):

i_L(0_–) = i_L(0₊), u_C(0_–) = u_C(0₊).

Составление характеристического уравнения цепи и определение его корней.

Запись полного решения в виде суммы принужденной и свободной составляющих.

Расчет послекоммутационного установившегося режима с целью получения принужденных составляющих.

5. Расчет необходимых начальных условий (значение искомой величины и ее производной в момент t = 0₊) с использованием уравнений Кирхгофа и независимых начальных условий или схем замещения в момент t = 0₊.

Определение постоянных интегрирования и функции, описывающей изменение искомой величины в переходном режиме.

Операторный метод расчета

При расчете переходных процессов операторным методом удобно составить предварительно операторную схему. В каждой ветви с параметрами R, L, C должны быть при ненулевых начальных условиях учтены две дополнительные внутренние ЭДС Li(0) и u_C(0)/p. На рис. 2.2 показаны переходы от элементов с мгновенными значениями токов и напряжений к элементам операторной схемы.

Далее для операторной схемы замещения составляется система уравнений Кирхгофа в операторной форме, или ведется расчет любым другим известным расчетным методом. В результате решения должно быть получено изображение по Лапласу искомой величины, которому с применением теоремы разложения(таблиц, связывающих оригиналы и их изображения или при помощи других методов) ставится в соответствие оригинал в виде функции времени.

Табличный метод. Подробные таблицы оригиналов и соответствующих им изображений приводятся в математических и электротехнических справочниках. При использовании этого способа возникают трудности, связанные с распознаванием и сведением функций к табличному виду.

Для каждой функции времени, входящей в уравнение Кирхгофа, описывающего расчетную цепь, устанавливается в соответствие операторное изображение, после чего система линейных дифференциальных уравнений переписывается в виде системы алгебраических уравнений (также получаем операторную схему замещения). Система алгебраических уравнений рассчитывается относительно операторного изображения искомой величины, по которому с помощью теоремы разложения находится оригинал.

Теорема разложения имеет две модификации в зависимости от вида операторного изображения искомой величины:

1) _·=^· , (2.2)

где n – порядок цепи,

p_i – простые корни характеристического уравнения N(p) = 0;

.

2) _·=^· , (2.3)

где p_i – корни характеристического уравнения F₃(p) = 0.

В этом случае знаменатель имеет один нулевой корень, на это указывает наличие в составе знаменателя множителя p. Теорема разложения в форме (2.3) соответствует сигналам, имеющим принужденную составляющую.

Если уравнение второго порядка, соответствующее цепи второго порядка, F₂(p) = 0 имеет комплексные сопряженные корни и , то достаточно вычислить слагаемое сумм (2.2) или (2.3) только для корня , а для сопряженного корня взять значение, сопряженное этому слагаемому. Сумма, соответствующая этим двум слагаемым, равна удвоенному значению действительной части, найденной для одного из корней:

_·=^· (2.4)

Или

_·=^· .

3. Пример расчета переходного процесса

В цепи II порядка

Дана цепь (рис. 2.3) с параметрами Е = 30 В , J = 2 А , R₁ = 20 Ом , R₂ = 10 Ом, С = 100 мкФ , L = 50 мГн .

Определить закон изменения тока i₁(t) после коммутации.

Классический метод расчета

1. Правила коммутации:

i_L(0_–) = i_L(0₊) = 0 А,

u_C(0_–) = u_C(0₊) = J R₂ = 20 B.

Или

Таким образом, характеристическое уравнение в результате преобразования принимает вид

.

Таблица 2.2

t	i1(t)	t	i1(t)	t	i1(t)
	0,5	2 t	0,2754	4 t	0,3419
0,25 t	0,3531	2,25 t	0,2973	4,25 t	0,3402
0,5 t	0,2609	2,5 t	0,3149	4,5 t	0,3384
0,75 t	0,2137	2,75 t	0,3278	4,75 t	0,3366
1 t	0,1993	3 t	0,3362	5 t	0,3352
1,25 t	0,2065	3,25 t	0,3410	5,25 t	0,3341
1,5 t	0,2260	3,5 t	0,3430	5,5 t	0,3333
1,75 t	0,2506	3,75 t	0,3430

Рис 2.7.

б

Операторный метод

С учетом независимых начальных условий изображается операторная схема замещения (рис. 2.8).

Уравнения Кирхгофа в операторной форме запишутся в виде

Решение получается проще при использовании метода контурных токов. Контурные токи выберем так, как показано на рис. 2.8.

Ток , тогда система уравнений имеет вид:

Определим собственные и общие сопротивления, а также контурные ЭДС, полученные выражения подставим в систему уравнений:

После преобразований

Подставим значения

Решим систему уравнений при помощи метода определителей:

,

.

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ