Расчет переходных процессов операторным методом

Пользуясь основными свойствами преобразования Лапласа, можно получить основные законы теории цепей в операторной форме. Рассмотрим, например, последовательный RLC-контур, находящийся при ненулевых начальных условиях u_c(0_) ¹ 0; i_L(0_) ¹ 0. Для этого контура уравнение по ЗНК имеет вид:

. (22)

Применив к уравнению прямое преобразование Лапласа и принимая во внимание свойства линейности, дифференцирования и интегрирования оригинала, получим:

U(p) = RI(p) + pLI(p) - Li(0_-) + [u_c(0_-)/p] + [1/pC]I(p) . (23)

Отсюда получаем закон Ома в операторной форме для данной цепи:

, (24)

где U₀(p) = U(p) + Li(0_-) - u_c(0_-)/p носит название операторного напряжения;

Z(p) = R + pL + 1/pC - операторного сопротивления цепи.

Если в Z(р) заменить р на jw, то получим комплексное сопротивление цепи.

Величины Li(0_-) и и_c(0_)/р называют расчетными напряжениями. Они характеризуют энергию магнитного и электрического полей, запасенную в L и С к моменту коммутации.

Величина, обратная Z(p), называется операторной проводимостью цепи:

. (25)

Для нулевых начальных условий закон Ома примет вид

. (26)

Аналогичным образом можно получить законы Кирхгофа в операторной форме:

первый закон (ЗТК): ; (27)

второй закон (ЗНК): . (28)

Таким образом, закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме аналогичны этим же законам в комплексной форме с той лишь разницей, что в каждой из п ветвей при наличии ненулевых начальных условий действуют дополнительные расчетные источники L_ki_k(0_) и u_ck(0-)/p, положительное направление которых совпадает с выбранным положительным направлением тока в этой ветви.

Пример. Используя законы Ома и Кирхгофа в операторной форме, можно найти изображения искомых токов и напряжений в цепи. Для определения оригиналов токов и напряжений можно воспользоваться либо таблицами оригиналов и изображений, либо применить теорему разложения. Теорема разложения позволяет при нахождении оригинала операцию интегрирования в (15) заменить операцией суммирования, что значительно упрощает расчеты. Для случая вещественных и различных корней формула разложения имеет вид (без вывода):

, (29)

где F(p) = F₁(p)/F₂(p) — изображение, представляющее собой рациональную дробь комплексного переменного р;

р_k — корни характеристического уравнения F₂(p) = 0;

п — число корней F₂^'(p_k) = dF₂(p)/dp при p = p_k.

При наличии нулевого корня р=0,

, (30)

и формула разложения принимает вид:

.

В случае комплексно-сопряженных корней в разложении (29) достаточно взять удвоенное значение реальной части:

.

Для иллюстрации основных теоретических положений найдем операторным методом закон изменения тока в последовательном RLC-контуре при включении его на источник постоянною напряжения. Уравнение для изображения тока можно найти по закону Ома для нулевых начальных условий с учетом изображения постоянного напряжения U = U/p :

.

Найдем корни характеристического уравнения F₂(p) = LCp² + RCp + 1 = 0 ;

.

При R > 2r корни будут вещественны и различны. Для нахождения оригинала тока i(t) воспользуемся теоремой разложения (29) Для этого найдем производные F^'₂(p₁) и F^'₂(p₂) :

F^'₂(p₁) = 2LCp₁ + RC ;

F^'₂(p₂) = 2LCp₂ + RC.

Подставив значения F₁(p₁) = F₁(p₂ )= CU и F^'₂(p₁) и F^'₂(p₂) в (7.79), получим оригинал тока:

.

Из рассмотренного примера хорошо видны преимуществ операторного метода: простота, отсутствие громоздких операций по определению постоянных интегрирования.

Следует подчеркнуть, что, базируясь на законах Ома и Кирхгофа в операторной форме, можно рассчитать переходный процесс любым из ранее рассмотренных методов: контурных токов, узловых напряжений и др. При этом удобно пользоваться эквивалентными операторными схемами.

При составлении эквивалентных операторных схем источники тока и напряжений i(t) и u(t) заменяются соответствующими изображениями I(р) и U(p), индуктивность L заменяется на pL, а емкость С — на l/pC при нулевых начальных условиях.

Если начальные условия ненулевые, то последовательно с pL добавляется источник напряжения Li(0_-), а с С — источник напряжения — и_с(0_)/р (рисунок 11.6).

Рисунок 11.6 - Замена при составлении эквивалентных операторных схем

Важную роль в методах анализа и синтеза электрических цепей играют операторные передаточные функции, которые определяются как отношение изображения выходной реакции цепи к изображению входного воздействия. В соответствии с этим определением различают четыре вида передаточных функций:

.

где Н_u(р), H_i(p)имеют смысл передаточных функций по напряжению и току;

Н_z(р), Н_Y(р)-передаточные сопротивление и проводимость.

Если здесь заменить оператор р на jw, то получим уравнение комплексных передаточных функций H(jw), которые широко используются при частотных методах анализа электрических цепей.

Зная передаточную функцию цепи Н(р), с помощью последних выражений нетрудно найти изображение реакции цепи, а следовательно, и саму реакцию на заданное воздействие. Аналогично можно найти реакцию цепи с помощью Н(jw).

Нелинейные цепи и аппроксимация характеристик нелинейных элементов