Изучение переходных процессов в линейных электрических цепях

Цель работы: изучить особенности переходных процессов в линейных электрических цепях, получить навыки расчета переходных процессов на персональном компьютере.

1. Общие сведения

Процессы, возникающие в цепях при их коммуникации (включении и выключении цепей, различного рода переключения, внезапное изменение параметров, короткие замыкания и т.д.), называются переходными, или неустановившимися, процессами.

Характер переходных процессов зависит от параметров цепей, а при переменных ЭДС и от момента коммутации.

Определение токов и напряжений в линейных цепях при переходных режимах сводится в общем случае к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентами, составленных по законам Кирхгофа для данной цепи. Систему уравнений можно решить относительно одного неизвестного (например, тока какой-либо ветви) и получить уравнение вида:

,

где a₁, a₂, … a_n – постоянные коэффициенты; f(t) – известная функция времени.

Общий интеграл этого уравнения представляет собой сумму частных решений данного уравнения и общего решения соответствующего уравнения без свободного члена.

В качестве частного решения обычно берут решение для установившегося режима, т.е. определяют установившийся ток i_уст цепи или ветви.

Решение же однородного уравнения без свободного члена дает так называемый свободный ток i_св цепи (ветви):

,

где А₁, А₂, …, А_n – постоянные интегрирования; p₁, p₂, …, p_n – корни характеристического уравнения:

,

Ток переходного режима цепи будет складываться из установившегося тока и из тока свободного:

,

Постоянные А₁, А₂, …, А_n определяются из начальных условий.

Подобное решение можно привести и относительно напряжения.

Включение цепи R, L к постоянному напряжению (рис. 1). Установившейся ток цепи равен:

Рис.

Свободный ток определяется из уравнения:

Характеристическое уравнение:

В начальный момент i=0, поэтому

откуда

Ток неустановившегося режима:

где постоянная времени контура.

Напряжение на индуктивности:

Включение цепи R, L к переменному напряжению

Установившийся ток:

где

Свободный ток:

где

Ток неустановившегося режима:

Неблагоприятный момент включения определяется из условия

Наибольшего значения ток достигнет примерно через полпериода (рис.2) после включения:

Рис. 2

Включение цепи R, C к постоянному напряжению. Ток после включения

где

Напряжение на емкости:

Включение цепи R,C к переменному напряжению:

Ток после включения:

Напряжение на емкости:

(

Колебательный контур R, C, L (рис.3). Ток свободного разряда конденсатора на катушку будет

Рис. 3

периодическим, если сопротивление контура R меньше критического :

Напряжение на конденсаторе u_c и на катушке u_L:

где коэффициент затухания;

– частота собственных колебаний контура;

U₀ – первоначальное напряжение на конденсаторе.

При разряд будет апериодическим, т.е. контур не будет иметь собственных колебаний .

Ток и напряжение свободного разряда будет апериодическими.

Рассматривая включение контура RC и С к постоянному или переменному напряжению, необходимо наложить на установившийся режим контура его свободный режим.

При исследовании переходных процессов в электрических цепях часто прибегают к операторному методу решения линейных дифференциальных уравнений, первым приемом которого является алгебраизация дифференциальных уравнений.

Этот метод применим и к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами в частных производных, т.е. к расчету переходных режимов в цепях с распределенными постоянными.

Таблица №1

№
Е1, В
Е2, В
LмГ
СмкФ
R, Ом

Контрольные вопросы

1. Что такое переходные вопросы и когда они возникают в электрических цепях?

2. Какие значения токов, напряжений называют устранившимися?

3. Что такое принуждённые и свободные составляющие переходных токов и напряжений?

4. В чем состоит 1-й закон коммутации, каков его физический смысл?

5. В чем состоит 2-й закон коммутации, каков его физический смысл?

6. Что такое постоянная времени цепи, как ее определить расчетным и графическим методами?

7. Запишите уравнения, представляющие закон изменения во времени переходных токов и напряжений при заряде конденсатора, при включении индуктивной катушки в цепь постоянного напряжения.

8. В каких случаях необходимо учитывать переходные процессы?

9. Как влияют на характер переходных процессов соотношения L/R и C/R?