Основные принципы моделирования

1. Дифференциальные уравнения, описывающие процессы для модели и натуры должны быть одинаковы, идентичны – это достаточное условие подобия.

Дифференциальное уравнение не может описывать какой-нибудь единственный процесс, оно описывает бесчисленное множество однородных процессов, класс процессов, в пределах которого действует примененные физические процессы.

1. Модель и объект должны быть геометрически подобны.
2. Критерии, описывающие физические и геометрические свойства процесса для объекта и модели должно быть равны.
3. Начальные и граничные условия для модели и объекта должны бытьодинаковы.

2,3 и 4 принципы моделирования является необходимыми условиями подобия, иногда называемые условиями однозначности.

В основе моделирования процессов лежат методы теории подобия.

Теория подобия– это способ научного обобщения экспериментальных данных.

Она указывает: 1) как нужно вести эксперимент;

2) как обрабатывать данные. Она позволяет при проведении минимального числа опытов обобщить опытные данные всех подобных явлений.

Разберем элементы теории подобия и рассмотрим условия однозначности.

Геометрическое подобие – это подобие геометрической формы и соотношения размеров аппарата, где осуществляется процесс. Признаком подобия геометрических фигур являются частично равные соотношения их характерных размеров.

Приняты обозначения для натуры – один «штрих», для модели – два «штриха» .

РИСУНОК!!!!

1. Отношение сходственных величин разных фигур называется константами подобия

1. Отношения каких-то велечин внутри одной фигуры, остающееся такими же идеал. модели, называется инвариантами подобия

i _l=inv=idem “одно и тоже”

k_e и i_e - безразмерные величины. При переходе к новой подобной фигуре константа подобия меняется, а инвариант подобия остается постоянным.

1. Инвариант подобия, выраженный посредством величин одной размерности называется симплексом – Г.

a’/b’=l/d=Г– симплекс геометрического подобия

1. Инвариант подобия, выраженный отношением велечины разной размерности называется критерием подобия.

Например: для движения жидкости по трубопроводу = =i=Re

Все K_е, i, Г и критерии – безразмерные величины

Для соблюдения условий однозначности кроме геометрического подобия необходимо так же подобие полей физических величин, начальных и граничных условий, а так же временное подобие.

Временное подобие – называют гомохронностью (однородностью во времени).

Пусть τ’ и τ’’ – общая продолжительность ХТ процесса, и τ’=2, τ’’=1.

Оно складывается в общем случае из ряда промежуточных операций: загрузки, реакций, охлаждение, разгрузки аппарата.

τ₁’, τ₁’’; τ₂’, τ₂’’; τ₃’, τ₃’’; τ₄’, τ₄’’.

Временное подобие определяется как

= ….. Kτ=2 константа временного подобия

Если Кτ=1 – процесс синхронный.

Подобие полей физических величин – для сходственных точек обеих подобных систем отношения физических свойств (ρ, μ, с, t, и др.) должны быть постоянными.

Напр. для плотности

= =K – константы подобия плотности.

Или для вязкости

= =K – константы подобия полей вязкости.

Подобие начальных и граничных условий предполагает, что отношения основных параметров в начале и на границе для объекта и модели являются величинами постоянными.

Подобные преобразования уравнения

Навье-Стокса

Как уже говорилось, уравнение Н-Стокса не решается аналитически применительно к задачам турбулентных течений, поэтому не удается теоретически получить расчет вне зависимости для определения потерь энергии (напора). Поэтому приведем их подобные преобразования.

Запишем уравнение Н-Стокса для оси z

- + Ѳw_z - = (1)

Распишем оператор Лапласа, силу инерции, разделим (1) на ρ и запишем уравнение Н-стокса для изменения только вдоль оси х, где V=μ/ρ

(2)

Это уравнение для натуры. Запишем для модели

По достаточным условием подобие ???? уравнения для натуры и модели д.б. равны, т.е. (2)=(3)

В соответствии с необходимыми условиями подобия все константы для модели и натуры д.б. одинаковы и можем записать

K τ= τ’/ τ” Кg=g’/g” Kl=l’/l” Kp=p’/p” (4)

Мы должны выразить уравнение натуры (2) через модель, подставляя следующее выражение (5)

τ’=K*τ” g’=Kg*g” l’=Kl*l” p’=Kp*p”(5)

По достаточным условиям (6) д.б = (3), а это возможно, если коэффициенты в уравнении (6) равны

Распишем или

1) Но – критерий гомохронности-временное подобие, характер неустановившейся процесс в гидродинамике

Рассмотрим вторую пару

2)Kw² / Kl=Kg и получим w²/lg=Fr – критерий Фруда

Характеризует соотношение силы инерции и силы тяжести в подобных системах.

Все соотносим с силой инерции !!!

Kw² / Kl=Kp/K Kl : (Kw²)

3)DP/ w²=Eu критерий Эйлера– характеризует соотношение м/у силой давления и силой инерции в подобных системах

Kw² / Kl=

4) критерий Рейнольдса –характеризует отношение сил инерции к силе трения.

Кроме 4ех основных критериев существуют вспомогательные (путем ХМ:)

У Fr 3 аналога

Галилея

Архимеда

Грисгофа Gr=Ga * *Dt– для описания тепловых процессов.

Теоремы подобия

I Теорема

Критерии описывающие процесс для натуры и модели должны быть численно равны.

Теорема ставит вопрос: как построить модель и какие величины измерить при проведении опыта.

Ответ: чтобы критерии для модели и натуры были одинаковы измерить те величины, которые входят в критерии.

II Теорема (Бэкингема)

Решение любого ????? уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде функциональной зависимости между критериями подобия f(Но, Ke, Fr, Eu)=0.

III Теорема (Кирпичева и Тухмана)

I формулировка – Явление подобны, если соблюдаются достаточные и необходимые условия подобия.

II формулировка – Определяющие критерии для натуры и модели д.б. равны.

Определяющие критерии составлены из физических величин, входящих в условии однородности

Определяемые – содержат искомые величины

Так, в любом гидродинамическом процессе главное – перепад давления

Eu = f(Но, Fr, Re)