Применение экстраполяции для оценки погрешности

Для тестовых примеров, имеющих аналитическое решение можно найти разность между приближенным и точным результатом. Распространение этой оценки на другие примеры очень ненадежно. Выход может быть найден, если вместо точного использовать приближенное, но более точное по сравнению с проверяемым значение. Однако при этом возникают два вопроса: как получить это более точное значение и как проверить, что оно действительно точнее исходного.

Более точное значение можно вычислить, пользуясь тем же способом, что и проверяемое. Но это приводит к дополнительным требованиям к ресурсам, которые могут оказаться невыполнимыми. Есть и другой способ: использовать более грубые результаты (с меньшим числом узлов и временем счета). Если погрешность метода подчиняется некоторому закону, то, зная этот закон (в виде характера зависимости, например, степенной, экспоненциальный и т.п.), можно по нескольким результатам провести идентификацию и приближенно предсказать значение, соответствующее бесконечному числу узлов.

Ответить на второй вопрос можно с помощью повторной экстраполяции, т.е. экстраполяцией экстраполированных результатов, полученных для разных наборов исходных данных. В этом случае получается оценка погрешности экстраполированных результатов (или размытость оценки погрешности). Если эта оценка удовлетворяет требованиям: в три и более раз меньше оценки погрешности исходных данных (относительная размытость меньше 1/3 [9]), то цель достигнута. Если нет, то данный способ оценки в конкретном случае следует признать ненадежным. Подробнее о критерии надежности сказано ниже.

Кроме того, при хороших оценках результаты экстраполяции можно использовать вместо вычисленных данных, как более точные. При этом необходима дополнительная экстраполяция, чтобы убедиться в надежности полученных таким способом результатов. В некоторых случаях путем повторной экстраполяции можно получить результаты, на многие порядки более точные, чем рассчитанные непосредственно с помощью численного метода, и чего невозможно было бы добиться прямым расчетом в связи с огромными затратами времени, превышающими разумные пределы.

Численная фильтрация

При экстраполяции требуется априорное знание характера зависимости результата расчетов от числа узлов (или математической модели погрешности), например

, (6)

где – точное значение; – приближенный результат, полученный при числе узловых точек, равном n; – коэффициенты, которые предполагаются не зависящими от n; – величина, полагаемая малой по сравнению с при тех значениях n, которые использовались в данных конкретных расчетах, k₁,…, k_L – произвольные действительные числа (предполагается, что k₁<k₂<…< <k_L).

В математическом анализе обычно оценивается только первый член, поскольку остальные являются асимптотически (при n®¥) бесконечно малыми более высокого порядка. Однако для конечных n остальные слагаемые могут вносить существенный вклад и должны приниматься во внимание.

Если решение задачи представляет собой функцию с несколькими непрерывными производными, то можно допустить возможность его разложения по формуле Тейлора, тогда – это часть ряда натуральных чисел. Тогда к задаче нахождения предельного при значения z можно подойти как к задаче интерполяции зависимости от параметра алгебраическим многочленом с последующей экстраполяцией до . Есть и другой подход, приводящий при условии постоянства к тому же алгоритму, но не требующий целочисленности . Это решение задачи численной фильтрации, т.е. последовательное устранение степенных слагаемых суммы (6) при сохранении значения константы z. Рассмотрим два значения , , вычисленные при числе узлов, равном и соответственно. Составим линейную комбинацию

и потребуем, чтобы, суммарный коэффициент при z был равен 1, а при (для определенного j) равен 0. Отсюда получим формулу фильтрации, которая совпадает с экстраполяционной формулой Ричардсона [1]

. (7)

Проводя последовательно экстраполяцию по всем парам соседних значений, получим отфильтрованную зависимость, не содержащую члена с

, (8)

где . (9)

Заметим, что отфильтрованная последовательность содержит на один член меньше, чем исходная. Если она содержит больше одного члена, то ее также можно отфильтровать, устранив степенную составляющую с . Операции фильтрации можно повторять последовательно для ,…, , если исходная последовательность содержит достаточное количество членов. Результаты экстраполяций удобно представлять в виде треугольной матрицы

(10)

Применение повторной экстраполяции при k_j=j известно под названием метода Ромберга. При его применении возникает ряд ограничений.

Применение повторной экстраполяции приводит к изменению коэффициентов суммы (6). При увеличение абсолютной величины коэффициентов может оказаться весьма существенным. Это ограничивает число возможных экстраполяций.

Величина в (6) может оказаться суммой регулярной составляющей, имеющей вид , и нерегулярной составляющей , обусловленной погрешностью исходных данных, которая, например, связана с ограниченной разрядностью чисел в машинном представлении. Тогда исходная нерегулярная часть погрешности, содержащаяся в вычисленных значениях , при каждой экстраполяции умножается на коэффициент

.

Для метода Ромберга, применяемого к последовательности (6) при , произведение таких множителей ограничено числом, приблизительно равным 8 (получено численно), т.е. метод Ромберга является устойчивым к погрешности исходных данных, но сам уровень нерегулярной погрешности может ограничить число возможных экстраполяций.

Процесс Эйткена

При оценке погрешности частичных сумм значение k в (2.4) может быть неизвестно. В этом случае можно использовать следующую модификацию правила Ричардсона. Вычислим три значения z₁, z₂, z₃ при трех номерах последовательности: n, nQ, nQ² и составим систему трех уравнений [1, 9]

(11)

Найдем разности

,

,

и, разделив одну на другую, определим Q^k

. (12)

Теперь можно найти z

. (13)

Как и в рассмотренных ранее случаях, мы нашли экстраполированное (уточненное) значение z=z*, а вместе с ним и оценку погрешности z_i-z*.

Этот способ экстраполяции при неизвестном порядке точности принято называть алгоритмом Эйткена или d²-алгоритмом, который в более общем случае применяется для экстраполяции векторных последовательностей

.

В последнем выражении z_i – векторы, а скобками обозначается скалярное произведение.

Критерий размытости оценки

Оценка погрешности по правилу Рунге сводится к сравнению значения z_n с экстраполированным значением . Поскольку эта оценка справедлива при допущении, что величина точнее, чем z_n, то необходима проверка справедливости этого допущения. Это можно сделать следующим образом. Повторим процесс экстраполяции и получим значение . Разность представляет собой оценку погрешности приближенного значения z_n.. Разность является оценкой погрешности экстраполированного значения или оценкой погрешности оценки погрешности (рис. 10). Отношение имеет смысл относительной размытости оценки погрешности.

Если , то это означает, что относительная размытость оценки мала, и такой оценке можно доверять.

Рис. 10. Размытость оценки погрешности

Пусть оценка погрешности представляется в виде интервала . Для определения порогового значения d_n для принятия или отклонения полученной оценки желательно на основании имеющейся информации установить, не может ли при гипотетическом продолжении экстраполяций произойти переход получающихся значений левее или правее . Для этого предположим, что при последующих гипотетических экстраполяциях значение , как коэффициента уменьшения расстояния между соседними экстраполированными значениями, будет сохраняться: . Тогда предельное удаление предельного значения от определяется суммой геометрической прогрессии . Отсюда следует неравенство

, (14)

где K³1 – коэффициент «запаса» надежности оценки. Необходимость введения коэффициента K вызвано желанием получать достаточно надежные оценки в условиях неопределенности, вызванной влиянием нерегулярных составляющих погрешности. Тогда получим условие (критерий принятия оценки)

.

Примем величину K=2. Тогда пороговое значение , тогда при оценка принимается, а при отвергается. Это же значение было получено эмпирически при анализе реальных численных данных [9].