Моменты инерции относительно точки и оси

Моментом инерции механической системы, состоящей из материальных точек, относительно точки называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до точки (рис. 51), т. е.

. (139)

Момент инерции относительно точки часто называют полярным моментом инерции. В случае сплошного тела сумма переходит в интеграл и для полярного момента инерции имеем:

, (139')

где – масса элементарной частицы тела (в пределе точка); – ее расстояние до точки .

Моментом инерции системы материальных точек относительно оси называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до оси (рис. 51):

. (140')

В частном случае сплошного тела сумму следует заменить интегралом:

, (140')

Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга. Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции. Радиус инерции , относительно оси определяется но формуле

, (141)

где – масса тела.

Момент инерции относительно оси через радиус инерции относительно этой оси определяется выражением

, (141')

В справочниках по моментам инерции приводят таблицы значений радиусов инерции различных тел.

Моменты инерции относительно осей координат

Моменты инерции относительно декартовых осей координат , и и их начала – точки (рис. 52) – определяются выражениями:

,

,

, (142)

, (143)

где – координаты материальных точек системы. Для сплошных тел эти формулы примут вид

, ,

, .

Сумма моментов инерции относительно декартовых осей координат не зависит от ориентации этих осей в рассматриваемой точке, т.е. является величиной, инвариантной по отношению к направлению осей координат.

Для осей координат можно определить следующие три центробежных момента инерции:

, , . (144)

Центробежные моменты инерции часто называют произведениями инерции. Если центробежные моменты инерции равны нулю, оси называют главными осями инерции. Если при этом в качестве начала координат выбран центр масс, их называют главными центральными осями инерции

Моменты инерции относительно осей и точек – величины положительные. Центробежные моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными.

Кроме рассмотренных моментов инерции иногда используются моменты инерции относительно координатных плоскостей , , :

, , .

Теорема Штейнера

Установим зависимость между моментами инерции системы относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Пусть имеем две системы прямоугольных, взаимно параллельных осей координат и . Начало системы координат находится в центре масс системы (рис. 53).

По определению момента инерции относительно оси имеем:

, ,

где – масса точки , а и – координаты этой точки относительно систем и . Обозначим расстояние между осями и через .

Связь моментов инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс, составляет содержание так называемой теоремы Штейнера или Гюйгенса–Штейнера: момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями:

. (145)