Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки

Имеем инерциальную систему отсчета Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru и материальную точку массой Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , на которую действуют приложенные силы Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru и Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru (рис. 49), где Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – равнодействующая заданных активных сил; Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – равнодействующая сил реакций связей. Если Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – ускорение точки относительно инерциальной системы отсчета (абсолютное ускорение), то согласно уравнению движения точки в векторной форме имеем

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru . (134)

Если ввести другую, неинерциальную систему отсчета Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , которая в общем случае может двигаться относительно инерциальной как свободное твердое тело, то по теореме сложения ускорений имеем

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , (135)

где Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – соответственно переносное, относительное и кориолисово ускорения.

Подставляя значение абсолютного ускорения после переноса слагаемых, кроме Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru из левой части в правую, получим

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , (136)

где Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru и Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru называются соответственно переносной и кориолисовой силами инерции. Получена динамическая теорема Кориолиса, или уравнение относительного движения точки в векторной форме: материальная точка движется относительно неинерциальной системы отсчета так же, как и относительно инерциальной, только к приложенным активным силам и реакциям связей следует добавить переносную и кориолисову силы инерции.

Силы инерции Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru и Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru являются поправками на неинерциальность системы отсчета. Для инерциальной системы отсчета они равны нулю, так как в этом случае абсолютное и относительное движения точки совпадают. Переносная и кориолисова силы инерции участвуют в создании относительного ускорения совершенно так же, как и приложенные силы со стороны материальных тел. Но эти силы инерции, по определению приложенных сил классической механики, не приложены к материальной точке, так как не участвуют в создании ее ускорения относительно инерциальной системы отсчета.

Если координаты движущейся точки относительно подвижной системы координат Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru в момент времени Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru есть Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , то в проекциях на подвижные оси координат (136) примет форму:

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru . (136')

Это дифференциальные уравнения движения точки относительно подвижной системы координат в проекциях на декартовы подвижные оси координат. Они отличаются от дифференциальных уравнений абсолютного движения относительно инерциальной системы отсчета только наличием поправок на неинерциальность системы отсчета.

Геометрия масс

Центр масс

При рассмотрении движения твердых тел и других механических систем важное значение имеет точка, называемая центром масс. Если механическая система состоит Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru из конечного числа материальных точек Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru с массами Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , радиусы-векторы которых Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , проведенные из одной и той же точки Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , (рис. 13), то центром масс называется геометрическая точка Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , радиус-вектор которой Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru определяется выражением

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , (137)

где Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – масса системы. Формулы для декартовых координат центра масс:

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru . (137')

Центр масс является не материальной точкой, а геометрической. Он может не совпадать ни с одной материальной точкой системы, как, например, в случае кольца. Центр масс системы характеризует распределение масс в системе.

Если механическая система представляет собой сплошное тело, то его разбивают на элементарные частицы с бесконечно малыми массами Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru и с изменяющимися от частицы к частице радиусом-вектором Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru . Суммы в пределе переходят в интегралы. Формулы (137) и (137') принимают форму:

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , (138)

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , (138')

где Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – масса тела.

Для однородных сплошных тел Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , где Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – плотность тела, общая для всех элементарных частиц, Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – объем элементарной частицы, Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – объем тела.

Для тел типа тонкого листа, которые можно принять за однородные материальные поверхности, Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , где Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – поверхностная плотность, Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – площадь поверхности элементарной частицы; Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – площадь поверхности.

Для тонкой проволоки, которую можно принять за отрезок линии, Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru , где Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – линейная плотность, Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – длина элемента линии; Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки - student2.ru – длина отрезка линии.

В этих случаях определение центра масс тел сводится к вычислению центра масс объемов, площадей и длин линий соответственно.

Моменты инерции

Наши рекомендации