Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей.

Из определения тензора инерции Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru , вычисляемого в актуальном положении твердого тела, ясно, что тензор инерции зависит от времени. Разложим вектор Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru и единичный тензор по базису Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru , жестко связанному с телом: Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru .

Тогда тензор инерции примет вид Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru , где координаты Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru постоянные, a переменные Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru и Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru это повернутые вместе с телом постоянные векторы Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru и Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru в отсчетном ( например, при t=0) положении. Таким образом, Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru это повернутый вместе с телом («вмороженный» в тело) постоянный тензор инерции

Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru . (5.20)

Последнее предложение с помощью тензора поворота «переводится» в формулу

B
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
B
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
dm

Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru .

Далее мы будем говорить о постоянном тензоре Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru , координаты которого называются моментами инерции.

Из (5.20) ясно, что тензор инерции симметричный Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru , т.е. Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru .

Формально координаты Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru тензора в ортонормированном базисе вычисляются с помощью скалярного умножения тензора слева на Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru , а справа на Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru :

Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru . (5.21)

Из (5.20) имеем:

Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru , (5.22)

где Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru квадрат расстояния от элемента Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru до «К»- ой оси,

Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru (5.23)

Моменты инерции (5.22) называются осевыми, а(5.23) - центробежными.

Из (5.22) следуют своеобразные «правила треугольника»

Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru

Например, Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru ,

причем ясно, что равенство возможно только в тех случаях, когда у всех точек тела координата Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru ; например, если тело – бесконечно тонкий стержень или бесконечно тонкая пластина.

5.2.3. Зависимость тензора инерции от точки (обобщенная теорема Гюйгенса- Штейнера).

Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
B ·
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
z
y
x
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
· C
dm
Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru
Для описания движения твердых тел необходимо вычислять тензор инерции относительно разных точек. Так, например, тело может вращаться вокруг различных неподвижных точек и, соответственно, осей. Чтобы избавиться от необходимости каждый раз вычислять интегралы (5.25), (5.26), найдем связь между центральным тензором инерции Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru ,который является неотъемлемым, вычисленным или измеренным атрибутом тела, и тензором инерции в некоторой точке Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru .

Подставляя в определение тензора Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru выражения

Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru ,

получим Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru

Все невыписанные слагаемые равны нулю, поскольку они содержат равный нулю множитель Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru (постоянные вектор Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru и тензор Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru выносятся из интегралов). Таким образом, получили обобщенную теорему Гюйгенса- Штейнера

Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru . (5.24)

Пусть Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru - оси с началом в точке В и базисными векторами Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru , а Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru

параллельные им оси с началом в центре масс (центральные оси) c координатами Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru .

Умножая (5.24) слева и справа скалярно на Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru , получим формулу связи для осевых моментов инерции

Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru или

Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru (5.25)

где Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru квадрат расстояния между осями X и Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru .

Умножая (5.24) слева на Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru и справа на Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru , получим формулу связи для центробежных моментов инерции

Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru или

Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей. - student2.ru . (5.26)

Разумеется, формулы (5.25) и (5.26) легко записываются и для других осей.

Заметим также, что поскольку осевые моменты инерции не зависят от положения точек на осях, часто в формулах (5.25) «имена» точек В и С опускаются.

Из (5.25) следует, что осевые моменты инерции минимальны, если оси центральные (вспомним о центре масс, как о точке, «ближайшей» ко всем точкам тела).

Наши рекомендации